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#1 20-05-2019 09:58:34

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 23

Paramétrisation de O(2)

Bonjour,

J'aurais besoin d'aide concernant une démonstration : Paramétrisation de O(2) (sans utilisation du théorème de réduction
des endomorphismes orthogonaux à une forme normale).

Je ne sais du tout comment commencer et ce que l'on cherche à prouver.

Je sais juste que O(2)=[tex]\{ A \in {\scr M}_2(\mathbb{R}) | ^t\!AA=1\!\!1_2 , \det(A)=\pm 1 \}[/tex]

Dernière modification par Guitout (20-05-2019 10:07:28)

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#2 20-05-2019 11:08:55

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 231

Re : Paramétrisation de O(2)

Bonjour,

  Tu pourrais commencer par écrire $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$. Le calcul de ${}^t AA=I_2$ va te donner que $a^2+b^2=1$ et que $c^2+d^2=1$. Tu en déduis qu'il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que $a=\cos(\alpha)$, $b=\sin(\alpha)$, $c=\cos(\beta)$ et $d=\sin(\beta)$. Puis, en utilisant les autres relations que te donnent ${}^tAA=I_2$, tu devrais pouvoir trouver un lien entre $\alpha$ et $\beta$.

F.

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#3 20-05-2019 12:35:06

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 23

Re : Paramétrisation de O(2)

Perso j'ai trouvé [tex]a^2+c^2=1[/tex] et [tex]b^2+d^2=1[/tex] (mais je pense que ça ne change rien), je pose [tex]\begin{cases} a=\cos(\alpha) \\ c=\sin(\alpha) \\ b=\cos(\beta) \\ d=\sin(\beta) \end{cases}[/tex].

L'autre égalité que je trouve grâce à [tex]^tAA=1\!\!1_2[/tex] est :[tex]ab+cd=0 \iff \cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)=0 \iff \cos(\alpha-\beta)=0 \\ \iff \alpha-\beta = \pm\frac{\pi}{2}[2\pi] \iff \alpha=\beta\pm\frac{\pi}{2}[2\pi].[/tex]

Ce qui donne : [tex]\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & \cos(\beta) \\ \sin(\alpha) & \sin(\beta) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\beta\pm\frac{\pi}{2}) & \cos(\beta) \\ \sin(\beta\pm\frac{\pi}{2}) & \sin(\beta) \end{pmatrix} \\ =\begin{pmatrix} -\sin(\beta) & \cos(\beta) \\ \cos(\beta) & \sin(\beta) \end{pmatrix} \text{ ou }  \begin{pmatrix} \sin(\beta) & \cos(\beta) \\ -\cos(\beta) & \sin(\beta) \end{pmatrix}[/tex]

Je reconnais la structure d'une matrice de rotation mais est-ce que s'en ai une ?

(petite question : est ce que c'est le même raisonnement pour le SO(2), U(2) et SU(2) ?)

Dernière modification par Guitout (20-05-2019 12:37:49)

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#4 20-05-2019 14:11:30

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 231

Re : Paramétrisation de O(2)

Je ne suis pas sûr de bien comprendre ta question... Attention, dans O(2), tu n'as pas que des rotations...

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#5 20-05-2019 14:56:11

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 23

Re : Paramétrisation de O(2)

daccord, donc la paramétrisation est finie ?

pour la question, je doit aussi faire la paramétrisation de SO(2), U(2) et SU(2), je voudrais donc juste savoir si je doit procédé de la même manière.

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#6 20-05-2019 19:00:36

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 231

Re : Paramétrisation de O(2)

Oui....et oui.

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#7 21-05-2019 12:57:16

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 23

Re : Paramétrisation de O(2)

Rebonjour, j'ai essayer de faire la paramétrisation de [tex]\mathcal{U}(2)[/tex].

Je sais que [tex]\mathcal{U}(2)=\{A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})| A^*A=1\!\!1_2\}[/tex]

Soient [tex]A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}[/tex], avec [tex]\begin{cases}a=a_1+ia_2 \\ b=b_1+ib_2 \\ c=c_1+ic_2 \\ d=d_1+id_2 \end{cases}[/tex] et [tex]A^*= ^t\!\!\!\bar{A}[/tex].

[tex]A^*A=\begin{pmatrix} \bar{a} & \bar{c} \\ \bar{b} & \bar{d}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bar{a}a+\bar{c}c & \bar{a}b+\bar{c}d \\ a\bar{b}+c\bar{d} & \bar{b}b+\bar{d}d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}[/tex]

On a alors [tex]\begin{cases} \bar{a}a+\bar{c}c=1 \\  \bar{b}b+\bar{d}d=1 \end{cases} \iff \begin{cases} |a|^2+|c|^2=1 \\  |b|^2+|d|^2=1 \end{cases}[/tex].

Je pose [tex]\begin{cases}|a|=\cos(\alpha)\\ |c|=\sin(\alpha) \\ |b|=\cos(\beta) \\ |d|=\sin(\beta) \end{cases} \iff \begin{cases}a_1^2+a_2^2=\cos^2(\alpha)\\ c_1^2+c_2^2=\sin^2(\alpha) \\ b_1^2+b_2^2=\cos^2(\beta) \\ d_1^2+d_2^2=\sin^2(\beta) \end{cases}, \text{ avec } \alpha,\beta \in \mathbb{R}[/tex].

Et là je bloque, je serais pas contre un petit coup de pouce.

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#8 21-05-2019 15:54:42

Guitout
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 23

Re : Paramétrisation de O(2)

J'ai finalement réussi à faire U(2) et SU(2).
Merci beaucoup pour ton aide.

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