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#1 18-05-2019 12:30:46

RobertdeRennes
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 3

Algorithme (DM seconde)

Bonjour, je suis Robert et je suis perdu sur un DM dont voici le sujet:

On cherche à fabriquer un algorithme en donnant une (bonne) approximation de ‘’racine de A’’ avec A qui est un réel positif. Cet algorithme est découvert sur des plaquettes gravés de plus de 3000 ans à Babylone.

I) https://www.mathovore.fr/ckfinder/userf … F36DC.jpeg

1)À partir de cette inégalité : a0<‘’racine de A’’, utilisez les propriétés de la fonction inverse pour montrer que a0<racine de A<b0. On sait que si a0>racine de A, alors b0<racine de A<a0

2) On pose a1= a0+b0/2 et b1= A/a1

Reproduire le graphe ci-dessus et y placer les réels a1 et b1. On remarque sur ce graphique que le couple (a1;b1) constitue un meilleur encadrement que (a0;b0)

On recommence a2= a1+b1/2 et b2=A/a2, a3=a2+b2/2 et b3= A/a3, et on continue aussi loin qu’on veut....

II) Maintenant, cherchons une valeur approximative de ‘’racine de 5’’:

a) Justifier sans calculatrice que: 2<racine de 5< 3.

b) Posez au choix: a0=2 ou a0=3.

Il faudra déterminer en s’aidant de la calculatrice la suite (a0;b0), (a1;b1), (a2;b2),....

Il faut utiliser à chaque étape toutes les décimales données par la calculatrice. (La calculatrice sert juste à gagner du temps !)

c) Comparer le résultat trouvé avec l’approximation de ‘’racine de 5’’ donnée par la calculatrice.

FIN

Merci d’avance pour vos réponses ^^

Dernière modification par RobertdeRennes (18-05-2019 14:52:19)

Hors ligne

#2 18-05-2019 12:35:39

RobertdeRennes
Membre
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Messages : 3

Re : Algorithme (DM seconde)

Hors ligne

#3 18-05-2019 18:45:56

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 869

Re : Algorithme (DM seconde)

Bonjour,

Oui, c'est incorrect, même si on est pressé, de poster sur 2 sites à la fois.
Le "crossposting" est en général assez mal vu...

Alors 1ere remarque que je t'aurais faite si j'avais été là à 14 h 50 (j'étais à 175 km et je rentre à l'instant).

1) À partir de cette inégalité : a0<‘’racine de A’’, utilisez les propriétés de la fonction inverse pour montrer que a0<racine de A<b0. On sait que si a0>racine de A, alors b0<racine de A<a0

Depuis quand utilise-t-on une variable sans en avoir donné la définition avant ?
Tu as la chance (ou la malchance) de ne pas faire de programmation parce que à l'exécution d'un programme conçu comme, c'est le plantage assuré avec un beau message d"erreur qui te dit que tu utilises une variable avant de l'avoir définie...

Donc, je t'aurais demandé d'où sortait ce b0 ? Et comment il était défini.

Deuxième remarque et ça devient grave, tu écris : a1= a0+b0/2 et là tu t'assois royalement sur u ne règle qui s'appelle : Priorité des opérations.
Parce que  a1= a0+b0/2 c'est $a_1=a_0+\dfrac{b_0}{2}$ C'est ça que tu veux ?
Dans ton cas, comme dans celui de tes petits camarades, li y a 90 chances sur 100 que la réponse soit non ...
Alors, la bonne écriture est :
$a_1=\dfrac{a_0+b_0}{2}$ et avec ton écriture cela devient (a0+b0)/2
En l'absence de parenthèses la multiplication (ou la division) est prioritaire sur l'addition (ou la soustraction).
Toute opération entre parenthèses est prioritaire...

Maintenant, revenons à nos moutons...
Je nec sais pas qui est b0...
De la 2e question, j'ai tendance à déduire que [tex]b0=\dfrac{A}{0}[/tex] 

Donc, je suis obligé d'interpréter la 2e question pour pouvoir répondre à la première ? Alors, celle-là, elle est fumante... Ilp faut la faire breveter...

Je pars donc de $a_0 < \sqrt A$ et j'en conclus que $\dfrac{1}{a_0}>\dfrac{1}{\sqrt A}$ c'est la propriété citée des inverses ex :
Exemple :
2 < 3  mais [tex]\dfrac 1 2 >\dfrac 1 3[/tex] cela inverse l'ordre...

Donc
Question 1
$a_0 < \sqrt A\;\Leftrightarrow\;\dfrac{1}{a_0}>\dfrac{1}{\sqrt A}$
La multiplication par un positif ne change pas l'ordre, donc, je multiplie les deux membres par A :
$\dfrac{1}{a_0}>\dfrac{1}{\sqrt A}\;\Leftrightarrow\;\dfrac{A}{a_0}>\dfrac{A}{\sqrt A}$

Donc $a0<\sqrt A\;\Leftrightarrow\;\dfrac{A}{a_0}>\dfrac{A}{\sqrt A}$
Or, $\dfrac{A}{a_0}$ c'est $b_0$  et  $\dfrac{A}{\sqrt A}$ c'est $\sqrt A$

Donc $a0 <\sqrt A$  alors $b_0>\sqrt A$

Et donc on a montré que $a_0<\sqrt A < b_0$

Voilà la racine 5 avec 29 décimales :
2.2360679774997896964091736687
Et j'ai écrit un petit programme en Python qui me donne successivement pour a et b :
2    2.5
2.25    2.222222222222222222222222222
2.236111111111111111111111111    2.236024844720496894409937888
2.236067977915804002760524500    2.236067977083775390135221157
2.236067977499789696447872828    2.236067977499789696370474509
2.236067977499789696409173668    2.236067977499789696409173669
2.236067977499789696409173668    2.236067977499789696409173669
2.236067977499789696409173668    2.236067977499789696409173669
2.236067977499789696409173668    2.236067977499789696409173669
2.236067977499789696409173668    2.236067977499789696409173669
>
Dès la ligne en gras (très vite donc) on trouve une réponse correcte qui ne varie plus ensuite...

@+


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#4 18-05-2019 20:58:16

Robert
Invité

Re : Algorithme (DM seconde)

Merci vous êtes un génie ! Depuis mon dernier poste j’ai repris les recherches et j’étais à 2,236067977 (j’étais encore loin ^^) . Donc pour la réponse exacte *de Racine de 5* , le dernier chiffre qui varie entre le 8 et le 9 n’est pas important ?

#5 19-05-2019 09:34:38

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 869

Re : Algorithme (DM seconde)

Re,


L'énoncé dit de le faire à la calculatrice, selon les modèles elles calculent avec de 10 à 13 chiffres. Là je t'ai donné 28 décimales, la méthode antique utilisée ne permet pas de faire mieux si je pars de $a_0=2 et 28 décimales$.
j'ai aussi affiché la valeur avec 29 décimales exactes (avec une autre méthode, la même que j'ai apprise quand moi, j'étais en 4e pour calculer çaà la main (puisque la calculette n'existait pas à l'époque)pour que tu voies que la 29e décimale pour que tu voies que les valeurs de $a_5$ et b_5$ que j'ai obtenues obtenues et b obtenues sont correctes, mais j'avais programmé pour garder 100 décimales et les calculs m'ont montré qu'avec la méthode des babyloniens, une telle précision est inutile vu les calculettes, alors j'ai réduit à 28 chiffres...

Je vais revenir la question 2 parce que j'ai rarement vu un énoncé aussi mal foutu (là, tu n'y es pour rien... du moins je l'espère !).
Il faut juste que je mette au propre les calculs faits dans ma tête...
Avec 50 chiffres de précision :
   $a_0 = 2$
   $b_0 = 2.5$

   $a_1 = 2.25$
   $b_1 = 2.2222222222222222222222222222222222222222222222222$

   $a_2 = 2.2361111111111111111111111111111111111111111111111$
   $b_2 = 2.2360248447204968944099378881987577639751552795031$

   $a_3 = 2.2360679779158040027605244996549344375431331953071$
   $b_3 = 2.2360679770837753901352211569992862791998611137903$

   $a_4 = 2.2360679774997896964478728283271103583714971545487$
   $b_4 = 2.2360679774997896963704745091354421125104093229145$

   $a_5 = 2.2360679774997896964091736687312762354409532387316$
   $b_5 = 2.2360679774997896964091736687312762354402834804915$

   $a_6 = 2.2360679774997896964091736687312762354406183596116$
   $b_6 = 2.2360679774997896964091736687312762354406183596115$

   $a_7 = 2.2360679774997896964091736687312762354406183596116$
   $b_7 = 2.2360679774997896964091736687312762354406183596115$

   $a_8 = 2.2360679774997896964091736687312762354406183596116$
   $b_8 = 2.2360679774997896964091736687312762354406183596115$

   $a_9 = 2.2360679774997896964091736687312762354406183596116$
   $b_9 = 2.2360679774997896964091736687312762354406183596115$

Tu peux constater que la précision souhaitée est aussi atteinte pour le couple (a5,b5)

@+

Dernière modification par yoshi (19-05-2019 11:52:59)


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#6 19-05-2019 11:30:21

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 869

Re : Algorithme (DM seconde)

Re,


On ne peut pas, on ne doit pas répondre à la question 2 avec des chiffres...
Il faut, à partir du dessin, placer a1=(a0+b0)/2...
Sur le dessin figurent a0 et b0 : donc a1 se trouve au milieu entre a0 et b0. Pas de pb et on constate que $a0 >\sqrt A$..
.
Mais dans ce cas où est donc b0 : si tu lis attentivement l'énoncé, tu dois constater que ce cas est prévu...
en effet, l'énoncé dit que
* si $a_0<\sqrt A$, alors $b_0 >\sqrt A$,
* si $a_0>\sqrt A$ (ici, c'est le cas de $a_1$) alors $b_0<\sqrt A$... Donc ce doit être le cas de $b_1$
Par conséquent, tu dois placer $b_1<\sqrt A$...
Où, précisément ?
Ça, vois-tu, c'est une question à 1000 € : sans chiffres, c'est dicille de placer A/a1...
Tu vas déduire de l'énoncé que dans le cas de l'énoncé $a0<b1<\sqrt A$ alors tu vas placer $b_1$ entre $a_0$ et $\sqrt A$ : puisque l'énoncé dit qu'on va constater que l'intervalle, s'est réduit, et bien, tu luis fais plaisir...

Avec 13 décimales :
   $a_0 = 2$
   $b_0 = 2.5$

   $a_1 = 2.25$
   $b_1 = 2.222222222222$

   $a_2 = 2.236111111111$
   $b_2 = 2.236024844721$

   $a_3 = 2.236067977916$
   $b_3 = 2.236067977084$

   $a_4 = 2.236067977500$
   $b_4 = 2.236067977500$

   $a_5 = 2.236067977500$
   $b_5 = 2.236067977500$

   $a_6 = 2.236067977500$
   $b_6 = 2.236067977500$

   $a_7 = 2.236067977500$
   $b_7 = 2.236067977500$

   $a_8 = 2.236067977500$
   $b_8 = 2.236067977500$

   $a_9 = 2.236067977500$
   $b_9 = 2.236067977500$

Avec 11 décimales :
   $a_0 = 2$
   $b_0 = 2.5$

   $a_1 = 2.25$
   $b_1 = 2.2222222222$

   $a_2 = 2.2361111111$
   $b_2 = 2.2360248447$

   $a_3 = 2.2360679779$
   $b_3 = 2.2360679771$

   $a_4 = 2.2360679775$
   $b_4 = 2.2360679775$

   $a_5 = 2.2360679775$
   $b_5 = 2.2360679775$

   $a_6 = 2.2360679775$
   $b_6 = 2.2360679775$

   $a_7 = 2.2360679775$
   $b_7 = 2.2360679775$

   $a_8 = 2.2360679775$
   $b_8 = 2.2360679775$

   $a_9 = 2.2360679775$
   $b_9 = 2.2360679775$


@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#7 19-05-2019 13:11:34

Robert
Invité

Re : Algorithme (DM seconde)

Re, Whaaaa merci pour votre énorme engagement sur ce DM qui est bien tordu... Le problème c’est que j’ai déjà écrit au propre (dont le 2)... Donc le graphe ne se fait pas avec des chiffres dommage je pensais qu’on pouvait enfin les utiliser.... Je corrigerai mes erreurs plus tard.

Merci pour tout ^^

#8 19-05-2019 15:00:57

RobertdeRennes
Membre
Inscription : 18-05-2019
Messages : 3

Re : Algorithme (DM seconde)

Donc pour le graphe b1 est au milieu de ao et *Racine de A*?
Je me demande ce qu’on fait mes camarades du lycée Joliot Curie...

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