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Peepz

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Z/nZ exercice

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre la dernière question, merci pour votre aide

(a) Justifier que [tex]\bar{11}[/tex] ∈ (Z/17Z)*
11 est premier avec 17 donc 11 ∈ (Z/17Z)*

(b) Que vaut [tex]\bar{11}^{16}[/tex] dans Z/17Z ? Justifier votre reponse.
D'après le théorème de Fermat
[tex]\bar{11}^{16} \equiv 1 [/tex] [17]

(c) Montrer que [tex]\bar{11}^{31}[/tex] est solution de l’´équation 11x ≡ 1 mod 17.
[tex]11^{31} = 11^{16} \times 11^{15} = 1 \times 11^{15}[/tex]
donc [tex]  11 \times 11^{15} \equiv 1 mod 17[/tex]
[tex]11^{16} \equiv 1 [17] [/tex]
[tex]1 \equiv 1[17] [/tex]

(d) En déduire que [tex]\bar{11}^{31}[/tex] = [tex]\bar{14}[/tex].

Dernière modification par Peepz (12-05-2019 17:04:56)

yoshi

Modo Ferox

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Re : Z/nZ exercice

Bonjour,

Je te propose quelque chose qui ne me plaît qu'à moitié (je suis sûr qu'il y a plus court).
$11^{31}=11^{16}\times 11^{15}$
Et $11^{16}\times 11^{15}\equiv 1\times 11^{15}\;[17]$
Donc $11^{31}\equiv 11^{15}\;[17]$
Reste à prouver que $11^{15}\equiv 14 \;[17]$
$11^{15}=11\times (11^2)^7$
$11\times(11^2)^7\equiv 11\times 2^7\;[17]$
$11\times 2^7=11\times 2^2\times 2^5$
$11\times 2^2\times 2^5\equiv 11\times 2^2\times 15\;[17]$
$11\times 2^2\times 15=22\times 30$
$22\times 30\equiv 5\times 13\;[17]$
$65\equiv 14\;[17]$
Donc
$11^{15}\equiv 14\;[17]$

@+

[EDIT]
Puisque $11^{16}\equiv 1\;[17]$ alors $11^{17}\equiv 11\;[17]$ ou encore $11^{17}\equiv 28\;[17]$
$11^{17}\equiv 28\;[17]\;\Leftrightarrow\;11^{15}\times 11^2\equiv 28\;[17]\;\Leftrightarrow\;11^{15}\times 2\equiv 28\;[17]$
D'où $11^{15}\equiv \dfrac{28}{2}\;[17]$
Et enfin $11^{15}\equiv 14\;[17]$
[EDIT2] Arf... simplification pas autorisée !

Dernière modification par yoshi (12-05-2019 19:46:15)

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Fred

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Re : Z/nZ exercice

Hello,

  Plus dans l'esprit de l'exercice :

$\overline {11}\times \overline =\bar 1$.

Donc

$$\overline{11}\times (\overline{11^{31}}-\overline{14})=\bar 0.$$

Et comme $\overline{11}$ est inversible dans $\mathbb Z/17\mathbb Z$, tu en déduis le résultat.

F.

freddy

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Re : Z/nZ exercice

Salut,

un "truc" qu'on ne voit pas tout de suite (du moins, que je n'ai pas vu tout de suite) est que $\overline {14}$ est aussi solution de ${11}x \equiv  1 \mod 17$, d'où l'élégante solution de Fred.

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De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.