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#1 11-05-2019 07:41:05

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Espace probabilisé

Bonjour,
1. Soit [tex](A_n)_n \in \mathbb{N}[/tex],une suite d'événements d'un espace probabilisé [tex](\Omega,\mathcal{A},P)[/tex].
1.1 On définit , pour [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] : [tex]B_k=\bigcup_{p=k}^{\infty} A_p[/tex]. Montrer que la suite [tex](B_k)[/tex] est décroissante (pour l'inclusion).
1.2 soit [tex]B=\bigcap_{k \in \mathbb{N}} B_k[/tex]. Justifiez : [tex]B \in \mathcal{A}[/tex]
1.3. On suppose que la série [tex]\Sigma P(A_n)[/tex] est convergente. Prouver alors que [tex]P(B)=0[/tex]
2 On joue (indéfiniment!) à pile ou face avec une pièce non truquée. Montrer que la probabilité de n'obtenir que des piles est nulle.


J'obtiens : [tex]B_k \subset B_{k+1} \cup A_k[/tex], d'où [tex]B_ {k+1}\subset B_k[/tex].. pour tout [tex]k \in \mathbb{N} [/tex].

Ensuite je cale...

Dernière modification par Zebulor (19-05-2019 07:53:32)

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#2 11-05-2019 10:55:15

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 244

Re : Espace probabilisé

Bonjour,

  Tu écris que $P(B_k)\leq \sum_{p\geq k}P(A_p)$ tend vers $0$ lorsque $k$ tend vers $+\infty$ comme reste d'une série convergente, puis que $P(B)\leq P(B_k)$ pour tout entier $k$....

F.

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#3 11-05-2019 12:12:26

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : Espace probabilisé

Bonjour Fred,

Ok pour ta réponse avec la minoration par le reste à l'ordre k. Je t'en remercie.

Je cale encore sur la justification : [tex]B \in \mathcal{A}[/tex]…
Je crois comprendre que [tex]\mathcal{A}[/tex] est une tribu… un objet mathématique que j'ai du mal à identifier..
Y aurait il plusieurs tribus [tex]\mathcal{A}[/tex] ?
Si oui faut il comprendre que [tex]B[/tex] appartient à chacune de ses tribus ?

Dernière modification par Zebulor (11-05-2019 12:21:02)

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#4 11-05-2019 12:26:43

D_john
Invité

Re : Espace probabilisé

Bonjour,

Pour 1.2, il faut remonter aux propriétés de la tribu [tex] \mathcal{A} [/tex]...

#5 11-05-2019 12:44:53

D_john
Invité

Re : Espace probabilisé

Oups ! ... pas vu ton dernier message Zebulor.
Une tribu est un ensemble d'événements (parties de l'univers des possibles [tex] \Omega [/tex]) que tu considères comme utiles à la résolution d'un problème mais surtout qui vont te permettre de définir une mesure de probabilité.
Par exemple ici tu considères les Ai mais les axiomes de la tribu t'obligent à considérer aussi leur complémentaire dans [tex] \Omega [/tex] ainsi que [tex] \Omega [/tex] tout entier et la partie vide.

#6 11-05-2019 13:05:07

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : Espace probabilisé

Bonjour,
@D_John. Ok merci pour ces précisions. A la lumière de ce que tu m'écris j'en déduis ..
- que [tex]\mathcal{A}[/tex]={[tex]\emptyset, B , \Omega , \overline B [/tex]} est la plus petite tribu contenant [tex]B[/tex]…
- que tous les [tex]A_i[/tex] sont dans toutes les tribus...

Dernière modification par Zebulor (11-05-2019 13:17:31)

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#7 11-05-2019 14:33:46

D_john
Invité

Re : Espace probabilisé

([tex] \emptyset, B , \Omega , \overline B [/tex]) est effectivement une tribu sur [tex] \Omega [/tex]. C'est la tribu engendrée par l'événement B (qui est bien une partie de [tex] \Omega [/tex]) mais ce n'est pas la tribu [tex] \mathcal{A} [/tex] (qui contient tous les Ai et bien d'autres événements comme les Bk ainsi que B et tous leurs complémentaires). En fait une tribu c'est une structure définie sur [tex] \Omega [/tex].

J'ai sans nul doute commis une erreur en donnant un exemple volontairement raccourci. Il y a d'autres axiomes à satisfaire pour définir une tribu (en particulier sur l'union et l'intersection de tous les événements considérés) d'où découlent des propriétés propres aux ensembles mesurables que sont les tribus.
Je ne sais pas si ce qualificatif s'applique à une tribu mais on comprend bien intuitivement que la tribu [tex] \mathcal{A} [/tex] est "plus fine" que la tribu engendrée par B dont tu parles. Cette dernière est contenue dans la tribu [tex] \mathcal{A} [/tex], c'est du moins ce que l'on te demande de démontrer.

#8 11-05-2019 15:38:47

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : Espace probabilisé

Si je t'ai bien compris la tribu la "moins fine" serait {[tex]\emptyset, \Omega[/tex]} et la tribu [tex]\mathcal A[/tex] de la question 1.2 serait donc la plus fine des tribus sur [tex]\Omega[/tex], mais la question principale que je me pose est  : peut on formellement l'expliciter

Dernière modification par Zebulor (11-05-2019 20:00:27)

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#9 11-05-2019 22:37:58

D_john
Invité

Re : Espace probabilisé

{[tex]\emptyset, \Omega[/tex]} : tribu "grossière" sans intérêt (1 événement toujours vrai).
La tribu la plus "fine" sur [tex]\Omega[/tex] est l'ensemble des parties de [tex]\Omega[/tex]
Dans l'énoncé, rien ne dit que la tribu [tex]\mathcal A[/tex] soit la plus "fine" que l’on puisse trouver sur [tex] \Omega [/tex].
Simplement [tex]\mathcal A[/tex] est au minimum la tribu engendrée par l'ensemble des Ai.

Pour répondre à la question 1.2, il suffit donc de montrer que l'événement B peut être obtenu en faisant des opérations de réunion, intersection et complémentation des événements Ai, ce qui n'est pas très compliqué en partant de la définition d'une tribu :

Rappel
Une famille de parties de [tex] \Omega [/tex] est une tribu sur [tex] \Omega [/tex] si :
- elle contient l'ensemble vide ;
- elle est stable par complémentation ;
- elle est stable par union dénombrable ;

#10 12-05-2019 04:50:47

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 279

Re : Espace probabilisé

Bonjour D_John,
en particulier je retiens :

D_john a écrit :

Simplement [tex]\mathcal A[/tex] est au minimum la tribu engendrée par l'ensemble des [tex]A_i[/tex]

.

Ta réponse est complète et précise. Merci.

Dernière modification par Zebulor (12-05-2019 04:51:46)

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