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#1 23-10-2007 12:54:10

romu
Membre
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injection [Résolu]

Bonjour, je bloque sur cet exercice:

Soit [tex]f:X\rightarrow Y[/tex] une application.

Montrer que [tex]f[/tex] est injective si et seulement si pour toutes applications [tex]g:Z\rightarrow X[/tex] et [tex]h:Z\rightarrow X[/tex], on a: [tex]f\circ g = f\circ h\qquad \Longrightarrow g=h[/tex].

Je ne vois pas comment procéder pour montrer l'implication indirecte. Merci pour vos conseils.

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#2 23-10-2007 12:58:55

romu
Membre
Inscription : 15-09-2007
Messages : 32

Re : injection [Résolu]

En fait mon problème est plus précisément sur le fait que je ne sais pas si Z est donné, où si on peut prendre Z quelconque (par exemple Z=X).

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#3 23-10-2007 13:29:35

romu
Membre
Inscription : 15-09-2007
Messages : 32

Re : injection [Résolu]

Si je peux prendre [tex]Z[/tex] quelconque, alors je prends [tex]Z=X[/tex], et je raisonne par l'absurde:

Je suppose donc que [tex]f[/tex] n'est pas injective, ie il existe [tex]x,\ x' \in X[/tex] tels que [tex]f(x)=f(x')[/tex] et [tex]x\neq x'[/tex].

Je considère ensuite les applications de [tex]X[/tex] dans [tex]X[/tex] telles que [tex]g(a)=x[/tex] et [tex]h(a)=x'[/tex] quelque soit [tex]a\in X[/tex].

On a donc [tex]f\circ g = f\circ h[/tex], d'où [tex]g=h[/tex], ce qui n'est possible que si [tex]x=x'[/tex], d'où l'absurdité.

Donc [tex]f[/tex] est injective.

Si [tex]Z[/tex] est donné et que je ne peux pas prendre l'ensemble que je veux, alors là je ne vois pas.

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#4 23-10-2007 15:45:19

Fred
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Messages : 7 035

Re : injection [Résolu]

Salut,

  Après un coup d'oeil rapide, ce que tu as fait me semble correct...

Fred.

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#5 24-10-2007 10:48:09

romu
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Messages : 32

Re : injection [Résolu]

ok merci fred.
:)

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#6 24-10-2007 11:29:31

romu
Membre
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Messages : 32

Re : injection [Résolu]

Pour celle-ci je bloque sur l'implication indirecte:

Montrer que [tex]f[/tex] est surjective si et seulement si pour toute application [tex]g:Y\rightarrow Z[/tex] et toute application [tex]h:Y\rightarrow Z[/tex], on a:

[tex]g\circ f = h\circ f\quad \Rightarrow \quad g=h[/tex].

J'ai essayé par l'absurde mais je ne vois pas quelle application choisir pour trouver la contradiction. Je ne vois pas comment on pourrait raisonner autrement pour trouver la contradiction.

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#7 24-10-2007 11:50:03

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : injection [Résolu]

Salut,

  On suppose f non surjective. Il existe donc un point [tex]y_0[/tex] de Y qui n'est pas dans f(X).
L'idée est de construire g et h qui coincident sur tout Y, sauf en [tex]y_0[/tex],
et qui sont différentes en [tex]y_0[/tex]. Alors, on aura [tex]g\circ f=h\circ f[/tex],
et pourtant [tex]g\neq h[/tex].

Voici une façon de procéder. On considère Z={0,1}, g défini sur Y par g(y_0)=1 et g(y)=0 sinon,
h défini sur Y par h(y)=0 pour tout y. Alors on a bien [tex]g\circ f=h\circ f[/tex] (car [tex]f(x)\neq y_0[/tex])
et [tex]h\neq g[/tex].

Fred.

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#8 24-10-2007 12:11:47

romu
Membre
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Messages : 32

Re : injection [Résolu]

ok oui,
je viens de trouver une solution similaire, merci Fred.

Par contre, il faut supposer que si [tex]X[/tex] est vide alors [tex]Y[/tex] est vide.
autrement il existerait [tex]y\in \emptyset[/tex] tel que pour tout [tex]x\in \emptyset,\ y\neq f(x)[/tex]. Et donc [tex]f[/tex] n'est pas injective.

Dernière modification par romu (24-10-2007 12:13:22)

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