Espace Dual - analyse fonctionnelle

sbl_bak · 20-06-2017 13:56:13

Bonjour à Tous,

Je souhaiterai savoir si vous pouviez me donner quelque précision sur un espace Dual.

Je voudrai donc savoir si ma compréhension est bonne :

Si l'on considéré E un espace vectoriel topologique et E' sont dual.
Pouvons nous dire que E' est la restriction de E à l'ensemble des applications linéaires continues?

Peut on également écrire l'inclusion strict $E' \subset E$?

Merci d'avance de vos réponses.

Fred · 20-06-2017 22:54:15

Bonjour,

Non, ce n'est pas cela. On ne peut pas comparer $E$ et $E'$ au sens de l'inclusion (du moins, dans le cas général).
A vrai dire, je ne comprends pas ce que tu veux dire par restriction de $E$ à l'ensemble des applications linéaires continues....

F.

sbl_bak · 21-06-2017 10:43:08

Bonjour,

sbl_bak a écrit :

Si l'on considéré E un espace vectoriel topologique et E' sont dual.
Pouvons nous dire que E' est la restriction de E à l'ensemble des applications linéaires continues?

On peut dire que E contient un ensemble de fonction du type linéaire pas linéaire continue pas continue ... donc je comprends que le sous-espace de E noté E' est une restriction à "une classe de fonction" qui est : applications linéaires continues.

Je ne suis pas sur du tout.

Merci d'avance de votre explication

Fred · 21-06-2017 11:48:36

Pourquoi E contiendrait un ensemble de fonctions? Par exemple, $\mathbb R^2$ muni d'une norme quelconque est un exemple très simple d'espace vectoriel topologique. En quoi ceci contient un ensemble de fonctions?

sbl_bak · 21-06-2017 13:41:53

Je suis un peu perdu dans la compréhension du dual.
Pourriez vous m'éclairer à ce sujet?
Merci d'avance

sbl_bak · 21-06-2017 13:56:42

Ah oui, effectivement j’ai utilisé le terme fonction alors qu'il faut utiliser dans E les formes linéaires et son dual topologique est les formes linéaires continues.

Est ce bien cela? donc nous avons bien une "classification" des formes linéaires i.e. une restriction aux formes linéaires continues.

Yassine · 21-06-2017 16:33:59

Bonjour,
En tant qu'espace vectoriel, $E$ admet un espace dual qualifié d'algébrique qui est l'espace vectoriel des formes linéaire, noté en général $E^*$.
Quand $E$ possède en plus une topologie, on note $E' \subset E^*$ le sous-espace vectoriel des formes linéaire continues, et on l'appelle dual topologique.

Dans ta phrase, tu dis : "la restriction de $E$", qui n'a pas vraiment de sens. Je pense que tu veux parler de la notion de sous-espace vectoriel : le dual topologie est un sous-ev du dual algébrique constitué des formes linéaires continues.

sbl_bak · 22-06-2017 09:59:49

Bonjour Yassine,

Merci beaucoup pour les explications.

Effectivement il faut parler de sous espace vectorielle au lieu de restriction. "mais le terme restriction reste tout même intéressant dans mon interprétation". Peut-être un futur sujet de thèse ;-).
Merci beaucoup.

Dernière modification par sbl_bak (22-06-2017 22:24:36)

sbl_bak · 22-06-2017 22:28:17

Re-bonjour,

Je me pose la question à nouveau sur la compréhension du dual

Prenons par exemple $D$ l'espace des fonctions test et on lui associe son espace dual des distributions $D'$.

Sommes nous dans le même cas $D' \subset D$?

Merci d'avance

Yassine · 23-06-2017 11:41:02

Bonjour,
Je ne comprends pas quand tu dis : "Sommes nous dans le même cas $D' \subset D$" ?
Le même cas que quoi ?
Ce que j'ai dit, c'est que $E' \subset E^*$, le dual topologique est un ss-ev du dual algébrique. Il n'y a pas de rapport à priori avec l'espace initial $E$.

Pour ce qui est des distributions, toute fonction localement intégrable $f \in L^1_{loc}$ défini une distribution $T_f$ donnée par $\displaystyle \langle T_f, \varphi \rangle = \int_{\Omega} f\varphi d\mu$. Cette association étant injective (faire attention au fait que $L^1_{loc}$ est le quotient de $\mathscr{L}^1$ par le ss-ev des fonctions nulles presque partout), on peut donc identifier $f$ et $T_f$ et écrire $L^1_{loc} \subset D'$. On peut même abuser un peu plus et écrire $D \subset L^1_{loc} \subset D'$.

sbl_bak · 24-06-2017 18:45:28

Bonjour,

Merci pour les explications! je comprends bien les explications. Il faut maintenant les mettre en pratique.

A bientot

Jawharovsky · 30-04-2019 16:27:08

Ce qui est sûr c'est que une distribution c'est pas une fonction seulement par abus que on confond une fonction localement intégrale a la distribution associée

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