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#1 26-04-2019 10:17:52

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

edo d'ordre 2

Bonjour
soient $y_1$ et $y_2$ deux solutions linéairement indépendantes du problème
$$
\begin{cases}
a(x) y"+ b(x) y' +c(x) y=0\\
l_1(y)= a_0 y(\alpha)+ a_1 y'(\alpha)+ b_0 y(\beta)+b_1 y'(\beta)=0\\
l_2[y]= c_0 y(\alpha)+ c_1 y'(\alpha)+ d_0 y(\beta)+d_1 y'(\beta)=0
\end{cases}
$$

La question est de montrer que le problème admet une unique solution si et seulement si $l_1[y].l_2[y_2] - l_1[y_2] l_2[y_1] \neq 0$. J'ai du mal à trouver la solution. Merci par avance pour toute aide.

Dernière modification par mati (26-04-2019 13:43:22)

Hors ligne

#2 04-05-2019 11:53:07

D_john
Invité

Re : edo d'ordre 2

Salut,

Bien que j'aies révisé mes cours sur les ED, l'idée suivante peut être fumeuse...

Une solution unique pour un système homogène tel que celui-ci est nécessairement la solution nulle si toutefois c’est un système linéaire par rapport à cette solution.
Toute solution de l’ED2 ssm est une combinaison linéaire de y1 et y2 càd y = p.y1 + q.y2. La solution du système est donc de cette forme (pour satisfaire au moins l'ED).
Il suffit donc montrer que les deux dernière équations sont linéaires par rapport à y.
Si le déterminant du système obtenu est non nul (c'est la condition proposée), alors le système a une solution unique et donc p et q sont nuls.
J'ai vérifié cette linéarité (sauf erreur).
A+

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