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#26 24-04-2019 13:14:40

Zebulor
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Messages : 239

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

Et sans vouloir te faire souffrir, je tente une réponse plus concise à ton post #18 question 6)b), plus "mathématique" mais plus abstraite (c'en est le prix à payer).

[tex]E[/tex] est l'ensemble de départ et [tex]F[/tex] l'ensemble image. Je suppose que dans ton poly [tex]A_i[/tex] est un ensemble quelconque non vide de [tex]E[/tex].

[tex]I=[\![1;n]\!][/tex] est l'ensemble des [tex]n[/tex] premiers entiers. [tex]n \ge 2[/tex]

Et dans la suite [tex]\bigcap[/tex] est l'écriture simplifiée pour pour [tex]\bigcap_{i=1}^n[/tex] ou [tex]\bigcap_{i \in I}[/tex].

Tu voulais savoir pourquoi on a pas nécessairement [tex]\bigcap f(A_i)\subset f(\cap A_i)[/tex]

En effet soit [tex]y \in F[/tex]. On suppose que pour tout couple [tex](i,j)\in [\![1;n]\!][/tex], tel que [tex]i \ne j[/tex], [tex]{x_i} \ne {x_j}[/tex]

On pose [tex]\forall i\in I, y=f(x_i)[/tex].

[tex]y=f(x_1)=f(x_2)=…..=f(x_n)[/tex] : [tex]y[/tex] possède [tex]n[/tex] antécédents distincts.
On pose [tex]\forall i \in I, A_i[/tex]={[tex]x_i[/tex]}. Alors [tex]\forall i \in I[/tex]; card([tex]A_i[/tex])=[tex]1[/tex]. Ce choix des [tex]A_i[/tex] est arbitraire, puisque a priori ces ensembles sont quelconques.

Alors [tex]\bigcap_{i \in I} A_i=\emptyset[/tex] car les éléments [tex]x_i[/tex] sont distincts deux à deux.

Il vient : [tex]\bigcap f(A_i)=[/tex][tex]\bigcap [/tex][tex]f[/tex]({[tex]x_i[/tex]})=[tex]\bigcap[/tex]{[tex]f[/tex]([tex]x_i[/tex])}={[tex]y[/tex]}. La deuxième égalité, un peu subtile, provient du fait que l'image du singleton est le singleton contenant l'image, qui se trouve être [tex]y[/tex], dernière égalité.

Par ailleurs comme [tex]\bigcap A_i=\emptyset[/tex], [tex]f(\cap A_i)=\emptyset[/tex].

Or : {[tex]y[/tex]} [tex]\not\subset \emptyset[/tex]  , ce qui se traduit par : [tex]\bigcap f(A_i) \not \subset f(\cap A_i)[/tex]

Dans le cas étudié, l'intersection des images n'est jamais vide, contrairement à l'image de leur intersection, puisque cette dernière est vide…

Conclusion : si un élément de F a au moins 2 antécédents, (nécessairement distincts), alors il existe des ensembles [tex]A_i[/tex], tels que [tex]i \in [\![1;n]\!][/tex] vérifiant [tex]\bigcap f(A_i) \not \subset f(\cap A_i)[/tex], ce qui ne veut pas dire que [tex]f[/tex] est nécessairement surjective! par contre elle n'est pas injective.


PS: La réciproque : [tex]f(\cap A_i) \subset \bigcap f(A_i)[/tex] est par contre toujours vraie et facile à démontrer (cf ton 6)b))
PS 2: j'avais inversé les inclusions, et supprimé une coquille..mes excuses à celles et ceux qui m'ont lu..
PS 3 : sauf erreur … à vérifier : [tex]\bigcap f(A_i)= f(\cap A_i)[/tex] <=> [tex]f[/tex] est injective

Bonne lecture !

Dernière modification par Zebulor (Hier 21:58:15)

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#27 Hier 17:07:11

Shadows Asgard
Invité

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

D'accord merci beaucoup ! Haha oui ça me donne complètement satisfaction, c'était très clair et précis :-)

#28 Hier 20:27:27

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 239

Re : Applications injectives, surjectives, bijectives - Images directes

bonsoir,
merci ! juste une question (cette fois ci c'est moi qui pose une question). Cà ne devrait rien changer à ma tentative de démonstration, mais comment définit on les [tex]A_i[/tex] dans ton poly?

Dernière modification par Zebulor (Hier 20:28:40)

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