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#1 04-04-2019 23:44:54
- hicham alpha
- Membre
- Inscription : 20-03-2018
- Messages : 111
integral
bonjour
merci de m'aider svp en ceci :
Soit f : [0, 1] → R continue. On suppose que pour tout n ∈ N :
$\int_{0}^{1}f(x)x^ndx = 0$. Que dire de f ?
je pense que f soit nulle. est-ce vrai ?
si oui, donner moi svp une démarche à suivre pour la prouver ( utiliser la limite, ..)
bonne journée
La vie est un art
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#2 05-04-2019 06:08:34
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 072
Re : integral
Bonjour,
est ce bien [tex]n \in N[/tex] ou [tex]n \in N^*[/tex]… ? les cas [tex]f[/tex] strictement positive ou [tex]f[/tex] strictement négative ne satisfont pas l'équation; [tex]f[/tex] s'annule donc au moins une fois sur [0;1]..
Peut être tenter un raisonnement par l'absurde ?
Dernière modification par Zebulor (05-04-2019 08:57:29)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#3 05-04-2019 09:53:11
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : integral
Bonjour,
Oui, $f$ est nulle. L'idée est de démontrer que, sous les hypothèses de ton énoncé, $\int_0^1 f^2(t)dt=0$ ce qui entraîne, par les théorèmes classiques d'intégration, que $f=0$. Pour cela, tu peux remarquer que $\int_0^1 f(t)P(t)dt=0$ pour ton polynôme $P$, puis utiliser le théorème de Weierstrass qui te dit qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)$ qui converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$...
F.
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#4 24-04-2019 23:09:23
- hicham alpha
- Membre
- Inscription : 20-03-2018
- Messages : 111
Re : integral
merci bcps pour vos réponses
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#5 24-04-2019 23:30:40
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 072
Re : integral
@hicham alpha : euh ok. c'est surtout Fred qui a contribué! mais merci.
Dernière modification par Zebulor (24-04-2019 23:31:28)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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