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#51 24-04-2019 07:18:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 948

Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Salut,

La droite d'équation y = ax-a+1 passe par un point fixe A(1;1).
C'est comme ça qu'elle a été définie.

Donc quel que soit le cas de figure (la valeur de a), tu disposeras déjà toujours d'un point d'intersection sur une des branches...
Il te faut donc trouver pour a>0 puis pour a<0 où se trouve le 2e point d'intersection : sur la même branche de l'hyperbole (donc dans le même quadrant que A, ou sur l'autre branche (donc dans un autre quadrant).

Il y a quand même un cas qui a été prévu dans l'énoncé l'énoncé : si a = -1, il n'y a qu'un seul point d'intersection, c'est A.
La droite est tangente à la courbe...
Que dit l'énoncé ?
il faut savoir découvrir ce qui est suggéré :

Montrer que si a est strictement négatif, il existe, sauf cas particulier,

Sauf cas particulier : il n'y a donc pas toujours deux points d'intersection,
de plus, cette mention est au singulier, ce qui suggère qu'il n'existe qu'un cas particulier.

En aucun cas tu ne peux avoir de droites parallèles puisque elles passent toutes par A(1 ; 1).
C'est le moment de ressortir geogebra :
1. tu traces y=1/x
2. Tu places un curseur et tu le fais varier de (par ex) de -10 à 10 avec un incrément de 0.1..
3. Tu places A=(1,1)
4. Tu traces la droite d'équation $y=ax-a+1$
Maintenant tu fais varier a...
Et tu constates que ta droite pivote autour de A, donc pas de séries de droites parallèles...

Autre possibilité suggérée par l'énoncé.
Tu prends plusieurs valeurs de a; tu calcules l'équation de droite correspondante et tu traces tes droites...

• si a > 0, alors y = -a  et je trouve des droites parallèles à l'axe des abscisses mais seulement dans le quadrant x< 0 et y<0
• si a < 0 alors y = a et je trouve des droites parallèles à l'axe des abscisses dans le quadrant x>0 et y>0
une seule de ces droites passe par le point A(1;1)

Tu as perdu de vue (ce n'est pas anormal) que $\left(-\dfrac 1 a\,;\;-a\right)$ sont les coordonnées - lorsqu'il existe - du 2e point d'intersection (je vais l'appeler M) de la droite avec la courbe...

Puisque $x_M=-\dfrac 1 a$ et $y_M=-a$ regarde donc quels sont les signes dans les deux cas (a>0 et a<0) de $x_M$ et $y_M$ et tu sauras dans quel quadrant se situe le 2e point...

@+


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#52 24-04-2019 17:10:02

yannD
Membre
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Messages : 1 589

Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Bonjour Yoshi, je te remercie de m'aider, sans toi je ne verrais pas d'issue à cet exercice, avant j'aurais tout laisser tomber et je n'aurais pas cherché à aller plus loin. Grâce  à toi, je fais des choses que je ne pensais pas pouvoir faire.
Donc déjà, merci pour l'aide…

Je n'avais rien compris.

Qu'est ce que j'ai fait ?
ET bien , dés que j'ai trouvé les 2 solutions de l'équation produit (x - 1) (ax + 1) = 0
x - 1 = 0 <=> x = 1
et
ax +1 = 0 <=> ax = -1 <=> x = -1/a
Je n'ai pas vu que ces 2 solutions c'était les coordonnées du point d'intersection
Ce que j'ai fait :
Dans l'équation de la droite passant par A
y = ax - a+1
J'ai remplacé x par  (-1/a)
et j'ai trouvé y = a(-1/a) - a + 1 <=> y = -1 -a + 1 <=> y = -a
et là j'avais trouvé 2 cas :
     si a > O, comme a > 0 alors y = -a
et là, je comprenais plus rien, parce que en remplaçant -a par des valeurs  puis 2 puis 3 etc…
je ne trouvais que des droites d'équation y = 1 ; y = 2 etc…

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#53 24-04-2019 17:40:49

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 948

Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

RE,

Je n'ai pas vu que ces 2 solutions c'était les coordonnées du point d'intersection

..
Non, les abscisses des points d'intersection.
Tu as bien compris que parmi les points d'intersection
* l'un est fixe : A(1 ; 1)
* l'autre est  : $M\left(-\dfrac 1 a\,;\,-a\right)$

Pour faire bien, tu devrais ajouter et montrer que pour a =-1, c'est le cas particulier signalé comme ça, "l'air de ne pas y toucher", genre en sifflotant d'un air détaché : "moi, j'dis, j'dis rien, hein ..."...
Et oui les 3 mots "sauf cas particulier", beaucoup de tes copains vont passer à côté...
Et que dans ce cas particulier, même si a<0, il n'y a qu'un point d'intersection : ça se voit avec Geogebra...
Mais ça se prouve facilement : ici la droite est la tangente à la courbe...

@+


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#54 24-04-2019 17:46:23

Zebulor
Membre expert
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Messages : 2 075

Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Salut à vous deux !
@Yann : tu vois en maths il faut savoir s'attarder sur les poux du sujet. Cà peut être pénible et difficile à comprendre au départ mais l'obstination paye et procure de grandes satisfactions. Le diable est dans les détails et c'est là que les copains trébuchent, sauf si sur les 800 vues il y en a un qui t'ai vu.. sinon Chuuttt !

Dernière modification par Zebulor (24-04-2019 18:12:12)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

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#55 24-04-2019 18:14:56

yannD
Membre
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Messages : 1 589

Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Je téléphone beaucoup aux copains de ma classe, surtout depuis hier soir, on s'envoie des SMS, et y'en a qui n'avaient pas trouvé comment passer de 1/x = ax - a + 1 à l'autre forme (x - 1)(ax +1) = 0 donc ça je l'ai expliqué. Pour l'instant, aucun de nous n'avons fini la rédaction du DM
Il y a encore un tout petit truc que je n'arrive pas à comprendre, c'est pourquoi -1/a et -a sont les abscisses des points d'intersection

Dernière modification par yannD (24-04-2019 18:19:36)

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#56 24-04-2019 20:03:37

yoshi
Modo Ferox
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Messages : 16 948

Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive

Re,

Tu as [tex]f(x)=\dfrac 1 x[/tex]  et [tex]g(x)=ax-a+1[/tex]
Tu cherches x tel que $f(x) = g(x)$ c'est à dire... le ou les abscisses des points d'intersection... Non ?
Et quand tu as un $x$,  $f(x)$ ou $g(x)$ c'est l'ordonnée correspondante...

@+

[EDIT]
Et comme f(x)=g(x), l'ordonnée correspond à  $x=-\dfrac 1 a$ il est plus simple de la calculer à partir de $f(x)=\dfrac 1 x$ plutôt qu'avec $g(x)=ax-a+1$ ;
$f\left(-\dfrac 1 a\right)=\dfrac{\;1\;}{-\dfrac 1 a}=-a$... L'inverse de $-\dfrac 1 a$, c'est $-a$ sans calculs !
Qu'en penses-tu ?

Dernière modification par yoshi (24-04-2019 20:34:42)


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