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#1 22-04-2019 13:15:32
- yannD
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Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bonjour, j'ai un Dm à rendre mais je suis bloqué sur certaines questions :
Soit f la fonction donnée par f(x) = 1/x et $H$ sa courbe représentative dans un repère.
Soit A le point de coordonnées (1;1).
Il s'agit d'étudier le nombres de points d'intersection de $H$ avec une droite quelconque passant par A
1a) Représenter A, H ainsi que quelques droites passant par A.
b) A l'aide de la calculatrice ou d'un logiciel de tracé de courbes. Conjecturer le nombre de point d'intersection cherché.
2.a) Soit a un nombre réel quelconque.
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur a.
b)Montrer que, pour tout nombre réel x différent de 0, l'équation 1/x = ax - a+1 se ramène à l'équation (x-1) (ax+1) = 0
c) Montrer que si a est strictement positif, il existe un point d'intersection situé sur chacune des deux branches de l'hyperbole H.
d) Montrer que si a est strictement négatif, il existe, sauf cas particulier, deux points d'intersection situés sur une
des deux branches de l'hyperbole
J'ai quelques problèmes de connexion avec la wi-fi et l'ordinateur se bloque souvent, (nous avons dû prendre un virus…
je vais écrire là où j'en suis
Dernière modification par yannD (22-04-2019 13:41:39)
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#2 22-04-2019 13:51:59
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
2.a)
A(1;1) == > x = 1 et y = 1
y = ax + b
1= 1.a+ b <=> b = (1 - a)
y = mx+p
1 = 1.x+p <=> p = (1 - x)
Puisque le point A appartient à la droite, je peux écrire l'équation y = mx + (1 - x)
Dernière modification par yannD (22-04-2019 13:53:35)
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#3 22-04-2019 14:06:03
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Pour la question 1, j'ai conjecturé 2 points d'intersection avec la fonction H
je suis bloqué pour la question 2, pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?
Dernière modification par yannD (22-04-2019 14:07:19)
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#4 22-04-2019 14:50:47
- Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bonjour Yann,
Je prends momentanément la place de Yoshi..
Avant de regarder la question 2) je crois comprendre que 1=1.a+b <=> b = (1 - a) traduit le fait que A(1;1) appartient à la droite passant par A de coefficient directeur a.
Je ne comprends pas la suite, et pourquoi tu changes de coefficient directeur : le Coeff a devient m ?
A partir du moment où tu as l'ordonnée à l'origine b=(1-a), tu peux directement écrire l'équation de la droite cherchée dont tu connais le coefficient directeur a : soit y=a*x+(1-a)
Tu peux aussi retrouver l'équation de cette droite en exprimant ce qu'est ce coefficient directeur par une égalité.. la pente de la droite c'est le quotient : différence des ordonnées par différence des abscisses. Ici tu as 2 points A(1;1) et M(x;y)
1)b)… 2 points d'intersection? à y regarder d'un peu plus près...
Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 15:27:57)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#5 22-04-2019 15:04:16
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bonjour zebulor, (comment vas-tu ? ) Joyeuses Pâques également !
je ne savais pas trop qu'elle écriture prendre :
• y = ax. b
• y =mx.P
en fait j'ai fait deux fois la même chose …
Dernière modification par yannD (22-04-2019 15:06:46)
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#6 22-04-2019 15:08:22
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Oui, je l'ai fait une 1ere fois avec la forme : y =ax+b et une 2e fois avec l'écriture : y = mx+p
j'ai encore beaucoup d'hésitations en mathématique, c'est pour cela
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#7 22-04-2019 15:10:06
- Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bien YannD! Joyeuses Pâques de même!
Un petit conseil : tu peux déjà lire toutes les questions de cet exercice, puisque tu en as le temps, et ça te donnera des indications pour certaines réponses..
Une fonction affine est de type : y=a*x+b ou y=m*x+p… peu importe les lettres. Ce qui compte c'est de savoir à quoi elles correspondent : a (ou m) est le coefficient directeur de la droite (ou sa pente) et b est l'ordonnée à l'origine : la droite passe par le point (0;b).
Une fonction linéaire est un cas particulier d'une fonction affine : b=0, ce qui signifie que sa représentation graphique passe par l'origine des axes. Son équation est y=a*x (ou y=m*x)
Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 15:14:08)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#8 22-04-2019 15:14:58
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
mais je ne vois pas pourquoi une fonction linéaire, passe par l'origine des axes
en effet, si je prends x = 2 j'ai bien une équation linéaire, celle-ci ne passe pas par l'origine des axes…
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#9 22-04-2019 15:19:57
- Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Quelle équation trouves tu avec x=2 ?
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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#10 22-04-2019 15:35:13
- yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bonjour à vous deux également,
Salut Yann, encore un problème de lecture d'énoncé ?
Il disait pourtant clairement :
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur a.
Tu écris que l'équation de la droite est y=mx+p ?...
Päs de soucis...
Tu dois trouvrer le coefficient m et l'ordonnée à l'origine p.
* Pour le coefficient directeur m, l'énoncé te dit : coefficient directeur a.
Donc ton équation provisoire est$ y =ax+p$
* Reste à trouver p. Pour cela, tu utilises le fait que A(1 ; 1) est sur la droite :
$1 =a\times 1 +p$ D'où $p = 1-a$
Tu peux donc maintenant écrire l'équation complète : $y = ax+1-a$
Tu voudras aussi noter que ton écriture :
$y=mx+(1-x)$ est fausse. Tu aurais dû t'en apercevoir : où est donc le coefficient directeur a ?
Donc, tu n'avais aucune chance de pouvoir répondre à :
b) Montrer que, pour tout nombre réel x différent de 0, l'équation $\dfrac 1 x = ax - a+1$ se ramène à l'équation $(x-1) (ax+1) = 0$
Concernant pente et coefficient directeur j'avais appris qu'on parlait de pente seulement lorsque le coefficient directeur étai positif : j'ignore par contre si ce distinguo est toujours valable...
@+
[EDIT] Apparemment, la question reste pendante : je n'ai rien trouvé de bien concluant à ce sujet...
C'est vrai que cela date pas d'aujourd'hui et que c'était peut-être une nuance due aux Sciences Physiques...
Dernière modification par yoshi (22-04-2019 15:38:02)
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#11 22-04-2019 15:53:58
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bonjour Yoshi,,
Exact, l'énoncé est bien :
2.a) Soit a un nombre réel quelconque
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur a
et c'est pas écrit : a pour coefficient directeur m
donc je dois partir d'une forme générale : y = ax +b
Mais comme j'ai appris l'an passé avec: y =mx +p, j'hésite encore au moment de la rédaction
Dernière modification par yannD (22-04-2019 15:56:55)
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#12 22-04-2019 16:17:23
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
# 9 : avec x = 2, j'obtiens y = 2.a + b
mais je voulais parler d'une équation x = 2 comme l'axe de symétrie d'une parabole (par ex)
Dernière modification par yannD (22-04-2019 16:17:51)
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#13 22-04-2019 17:04:50
- yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Re,
Et si tu utilisais $=px+q$ comme te l'a suggéré zebulor, ça changerait quoi ?
Regarde.
Dans $y=px+q$, p est le coefficient directeur, l'ordonnée à l'origine.
* Cherchons le coefficient directeur p. Par hypoythèse p vaut a.
L'équation provisoire est $y =ax+q$
* Cherchons l'ordonnée à l'origine q.
Pour cela, écrivons que A(1 ; 1) est sur la droite : $1=a\times 1 +q$ D'où $q = 1-a$
Tu disposes donc maintenant (écrite en fonction de a) de l'équation de droite cherchée : $y = ax+1-a$...
@+
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#14 22-04-2019 17:52:15
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
donc je peux dire par hypothèse p vaut a, c'est comme pour les démonstrations en géométrie ?
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#15 22-04-2019 18:58:26
- yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bin, oui...
sinon, ça sert à quoi un énoncé ?
"Par hypothèse" c'est simplement une façon plus courte, de dire : "Dans l'énoncé, il est écrit que"
@+
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#16 22-04-2019 20:01:00
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bonsoir Yoshi, je vais pas mentir mais en DS, j'aurais pas su faire cette question
Comme l'an passé, j'ai vu les équations de droite avec dans mon cours : y = mx+p et bien j'aurais mis
y = mx+p
A(1;1 ) = = > x = 1 et y = 1
donc 1 = 1.m+p <=> p = -m +1
soit y = mx -m+1
et en DS, dans ce genre d'exos, je vais pas plus loin, je ne fais pas le rapprochement avec la question suivante où on me demande de montrer que 1/x = ax - a + 1 peut se mettre sous la forme (x-1) (ax +1)
Dernière modification par yannD (22-04-2019 20:04:03)
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#17 22-04-2019 20:39:20
- yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Re,
Comme l'an passé, j'ai vu les équations de droite avec dans mon cours : y = mx+p et bien j'aurais mis y = mx+p
Et tu as bien vu que ce n'était pas faux
C'est bien ce que je dis : problème de lecture d'énoncé, qui te te disait bien pourtant :
2.a) Soit a un nombre réel quelconque.
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur a
.
Alors, pourquoi ne pas en tenir compte ?
1. Tu sais où es placé le coefficient directeur : devant le $x$ et peu importe comment il s'appelle dans la formule que tu utilises...
Je peux tout refaire en prenant comme forme générique d'équation $y=\alpha x+\beta$ ou $y =hx+k$ et j'arriverai toujours à $y=ax+1-a$...
2. D'ailleurs tu as utilisé une condition de parallélisme (pour l'autre DM) $xy'-x'y=0$ et si l'équation de l'une des droites est $y=ax+b$ comment vas-tu écrire l'autre ? et quelle forme pour la condition ?
Réponse, en général : $y=a'x+b'$ et les droites sont parallèles si $a=a'$, perpendiculaires si $aa'=-1$...
Et ça changerait quoi si j'utilisais $y=mx+p$ et $y'=m'x+p'$? Rien ! J'écrirais : les deux droites sont parallèles si $m=m'$, perpendiculaires si $mm'=-1$...
$y = mx -m+1$, ça, c'était encore correct (pas le cas de $y = mx -x+1$, je te l'avais signalé)... Pour avoir la réponse attendue, il suffisait de dire : l'énoncé me dit que le coefficient directeur vaut $a$ , donc $m=a$ et en remplaçant m par a, l'équation devenait $y=ax-a+1$
Le a ici est un nombre dont on affecte la valeur (cachée, et supposée pouvoir changer) ...On donne ce paramètre comme coefficient directeur...
Et d'ailleurs, ton prof aurait pu te dire :
2.a) Soit m un nombre réel quelconque.
Déterminer la fonction affine dont la représentation graphique passe par A et a pour coefficient directeur m
.
Et là la réponse $y=mx-1+m$ était celle attendue...
La suivante devenait alors
2. b) Montrer que, pour tout nombre réel x différent de 0, l'équation 1/x = mx - m+1 se ramène à l'équation (x-1) (mx+1) = 0
Et ça changeait quoi à l'exercice ???
Quant à tenir compte de la question suivante, c'est une habitude à prendre, ici comme en géométrie... Cela peut donner une indication et t'empêcher de t'acharner, pour répondre à la question en cours, à essayer de montrer une propriété qu'on te demande à la question suivante comme devant être déduite de la précédente...
@+
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#18 22-04-2019 20:59:28
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Oui, mais même en arrivant à : $y = mx - m + 1$ ( c'est à dire sans me tromper au niveau de $1= 1. x+p <=> p = -x + 1$ )
et bien en Ds, je vais pas plus loin, je vois que ce que l'on veut me faire trouver , c'est $y = ax - a + 1$
Après pour la b)
1/x = ax - a + 1 ça ressemble à des exos où l'on me demande de trouver des points d'intersection de la droite et de la courbe.
parce que 1/x c'est l'équation d'une courbe, et ax - a + 1 c'est l'équation de la droite qui passe par A(1;1)
donc je pense que c'est ça
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#19 22-04-2019 21:09:11
- yoshi
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Re,
1/x = ax - a + 1 ça ressemble à des exos où l'on me demande de trouver des points d'intersection de la droite et de la courbe.
C'est bien le sujet de l'exercice.
@+
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#20 22-04-2019 21:17:48
- Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
re,
juste une petite incursion...
@YannD : Yoshi t'a bien expliqué la philosophie de cet exercice..
Pour l'anecdote des profs de maths et de mécanique à l'université nous conseillaient de prendre le temps de lire toutes les questions d'un problème du début à la fin pour essayer de s'en faire une idée générale, une représentation mentale, plutôt que de foncer tête baissée sur la 1ere question... par exemple les questions 2)c) et 2)d) aident à répondre à la question 1)b)..
Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 21:34:31)
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#21 22-04-2019 21:41:57
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Bonsoir, dans mon cours, il est dit : résoudre $x^2$ = k , c'est résoudre $x^2 - k = 0$ puis après factorisation, je trouve une équation produit
donc : $1/x = ax - a + 1 <=> ax - a + 1 - 1/x = 0 <=> ax^2 - ax + x - 1/x = 0 <=> ax(x - 1) + x (1 - 1/x) = 0$
Dernière modification par yannD (22-04-2019 21:42:28)
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#22 22-04-2019 21:49:24
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
je n'arrive pas à mettre en facteur 1/X
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#23 22-04-2019 21:50:57
- Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
re Yann,
$1/x = ax - a + 1 <=> ax - a + 1 - 1/x = 0 <=> ax^2 - ax + x - 1/x = 0 <=> ax(x - 1) + x (1 - 1/x) = 0$
En précisant que ces équivalences sont valables pour x différent de 0..
La première équivalence est bonne mais il y a une erreur dans la 3e égalité...
Dernière modification par Zebulor (22-04-2019 21:56:08)
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#24 22-04-2019 21:57:05
- yannD
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
Pourquoi faut-il préciser x différent de 0 ?
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#25 22-04-2019 22:00:34
- Zebulor
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Re : Soit F la fonction donnée par f(x) = 1/x et H sa courbe représentarive
parce que [tex]\frac {1}{x}[/tex] n'existe que si x est différent de 0... si tu regardes l'énoncé c'est d'ailleurs précisé.. En d'autres termes la fonction x --> [tex]\frac {1}{x}[/tex] n'est pas définie en x=0 : 0 n' a pas d'inverse.
Mais ton idée de résolution du post #21 est bonne.
Dernière modification par Zebulor (23-04-2019 07:04:01)
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