Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 21-04-2019 19:29:03
- topdoc
- Membre
- Inscription : 17-08-2018
- Messages : 51
Adhérence et boule fermé
Bonjour,
est ce que cette preuve est juste je veux montrer que dans un espace métrique $\overline{B(x,r)}\subset B'(x,r)$
Soit $y\in \overline{B(x,r)} \Longleftrightarrow \forall \varepsilon>0, B(y,\varepsilon)\cap B(x,r)\neq \emptyset$
i.e., il existe $z\in B(y,\varepsilon)\cap B(x,r)$ donc $d(z,y)<\varepsilon$ et $d(z,x)<r$
Donc: $d(y,x)\leq d(y,z)+d(z,x)<\varepsilon+r, \, \forall \varepsilon>0$
par passage a la limite $\varepsilon\to 0$ on obtient $d(y,x)\leq r$
C'est quoi le contre exemple pour montrer que $B'(x,r)\not\subset \overline{B(x,r)}$ ?
Merci
Hors ligne
#2 21-04-2019 23:57:28
- Deugard
- Membre
- Inscription : 28-12-2018
- Messages : 36
Re : Adhérence et boule fermé
Bonsoir,
la preuve de l'inclusion semble juste, mais il y a plus direct :
$B(x,r) \subset B'(x,r)$ , car si d(x,y)<r alors d(x,y)$\leqslant$r , donc:
$\overline{B(x,r)}\subset \overline{B'(x,r)}=B'(x,r)$ qui est un fermé ;
la propriété : $X\subset Y \Rightarrow \overline{X} \subset \overline{Y}$, qui est en principe du cours,
se démontre ainsi: si $x\in \overline{X}$, alors, $\forall \epsilon >0,\, B(x,\epsilon) \cap X \neq \emptyset$ ,
donc $B(x,\epsilon) \cap Y \neq \emptyset$ , puisque $X \subset Y$ , d'où $x \in \overline{Y}$ .
Pour l'inclusion réciproque, voici un contre-exemple (tiré d'un vieux cours) :
dans $\mathbb{N}$, muni de la distance induite d(x,y):=|x-y|, on a: $B(1,1)=\{1\}$,
d'où $\overline{B(1,1)}=\{1\}$, car un singleton est fermé, mais $B'(1,1)=\{0,1,2\}$ .
On trouve un autre contre-exemple à l'exercice 4 de:
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00037.pdf
L'exercice 5 qui suit montre qu'il y a l'égalité $\overline{B(x,r)}=B'(x,r)$ dans
un espace vectoriel normé .
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée