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#1 07-04-2019 05:53:56

Shadows Asgard
Invité

Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Bonjour monsieur, j'ai une question concernant cet exercice. J'ai écrit ma question en vert tout à droite dans le lien du corrigé ci-dessous.

lien énoncé : https://goopics.net/i/5JOOY

lien corrigé: https://goopics.net/i/1J44g

Merci d'avance pour votre réponse

#2 07-04-2019 07:51:04

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 521

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Salut,

désolé, je suis daltonien ! :-)
C'est quoi, la question ?


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#3 07-04-2019 08:53:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 184

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Salut,

Pas de vert dans tes documents à peine lisibles : noir ou rouge sur fond violet foncé, c"est pas terrible comme contraste....

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#4 07-04-2019 23:23:04

Shadows Asgard
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Bonjour, ah pardon, mais c'est parce que c'est difficile de tapper les notations mathématiques à l'ordinateur.
Alors ma question est, par rapport à l'endroit où j'ai entouré en vert tout en bas à droite, quand il est dit "(r-1) appartient à X(k-1)(oméga)".
Mais comment sait-on que (r-1) appartient à X(k-1)(oméga) ?
C'est-à-dire, comment sait-on que (r-1) appartient à X(k-1)(oméga)= [|max(-1;n-N(1-p)-1); min(n-1; Np-1)|] ?

#5 08-04-2019 07:48:00

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 521

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Shadows Asgard a écrit :

Bonjour, ah pardon, mais c'est parce que c'est difficile de tapper les notations mathématiques à l'ordinateur.
Alors ma question est, par rapport à l'endroit où j'ai entouré en vert tout en bas à droite, quand il est dit "(r-1) appartient à X(k-1)(oméga)".
Mais comment sait-on que (r-1) appartient à X(k-1)(oméga) ?
C'est-à-dire, comment sait-on que (r-1) appartient à X(k-1)(oméga)= [|max(-1;n-N(1-p)-1); min(n-1; Np-1)|] ?

Salut,

c'est une bonne occasion pour se mettre à Latex, voir le tuto de yoshi pour bien démarrer.
Du coup, t'apprends un truc qui pourra toujours te servir, tu nous expliques clairement ton problème (en l'état, je ne vois pas bien de quoi il en retourne) et probable que tu auras une réponse à ta question.


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#6 08-04-2019 08:07:54

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 13 184

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Re,

(r-1) appartient à X(k-1)(oméga).
Code Latex :
(r-1) \in X(k-1)(\Omega) et avec un dollar de chaque côté : $(r-1) \in X(k-1)(\Omega)$
ou encore :
(r-1) appartient à X(k-1)(oméga)= [|\max(-1;n-N(1-p)-1); \min(n-1; Np-1)|] :
$(r-1)\in X(k-1)(\Omega)= [|\max(-1;n-N(1-p)-1); \min(n-1; Np-1)|]$

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#7 09-04-2019 03:38:24

Shadows Asgard
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

D'accord merci, mais pouvez-vous me dire pour ma question svp car malheureusement le temps m'est vraiment compté, je passe des concours dans quelques semaines ?

#8 11-04-2019 04:09:35

Shadows Asgard
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Bonjour, pouvez-vous me dire pour ma question svp ?

#9 11-04-2019 13:13:35

D_john
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Salut,

... ça me semble évident mais bon, je détaille (en me demandant si c'est vraiment ce qui te bloque).

Par définition, si les entiers r et k vérifient :
   
    [tex] 1 \le r \le Np \qquad et \qquad r \le k \le N(1-p)+r [/tex]

alors l’événement {Xk-1 = r – 1} = ‘Obtenir (r – 1) boules blanches en (k – 1) tirages’ est possible.

Par exemple si k = r, l’événement {Xr-1 = r – 1} = ‘Obtenir (r – 1) boules blanches en (r – 1) tirages’ est possible.

Pour répondre à ta question, si k = r + 1, l’événement devient {Xr = r – 1} = ‘Obtenir (r – 1) boules blanches en r tirages’.
Il est évidemment possible. Donc l’univers des possibles contient encore (r -1).

Bonne révision.

#10 12-04-2019 17:51:02

Shadows Asgard
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Salut, malheureusement je ne comprends toujours pas comment on sait que (r-1) appartient à X(k-1)(oméga).

Car de plus dans ton message tu as dû faire une erreur car on ne peut pas avoir r<=k car k appartient à [|r+1; N(1-p)+r|] et on a r qui appartient à [|1; Np|], donc on ne peut qu'avoir : r<k

Ensuite, pour que l'évènement {Xk-1 = r – 1} = ‘Obtenir (r – 1) boules blanches en (k – 1) tirages’ soit possible, il faut qu'on ait (r-1)<=(k-1)

Or on a :               1<= r <= Np                et         r+1 <= k <=  N(1-p)+r

c'est-à-dire:         0<= r-1 <= Np-1                et         r <= k-1 <=  N(1-p)+r-1

Et donc il faut que l'intervalle [|0; Np-1|] soit compris dans l'intervalle [|r; N(1-p)+r-1|], non ?

Si oui, comment montrer cela ?

#11 12-04-2019 22:54:14

D_john
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Heu... je vois ton message un peu tard et je ne vais pas pouvoir approfondir tout de suite... Mais en lisant en diagonale, je vois :

Shadows Asgard a écrit :

Car de plus dans ton message tu as dû faire une erreur car on ne peut pas avoir r<=k car k appartient à [|r+1; N(1-p)+r|] et on a r qui appartient à [|1; Np|], donc on ne peut qu'avoir : r<k

r = k signifie que tu obtiens r blanches en r tirages. Explique-moi pourquoi (r = k) c'est impossible. Merci

A suivre...

#12 13-04-2019 14:08:50

Shadows Asgard
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

(r = k) est impossible car par définition k appartient à [|r+1; N(1-p)+r|] et non pas à appartient à [|r; N(1-p)+r|].

#13 13-04-2019 22:56:49

D_john
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Bonsoir,

J’ai l’impression que ce fil part en live... alors je reprends.
Tout ce que j’ai écrit jusqu’ici partait d’un petit schéma de coin de table reposant sur l’énoncé du problème et non pas sur le corrigé lui-même qui ne me semble pas très clair dans tous les sens du terme. Ce schéma, je l’ai mis au propre et le voici :

https://www.cjoint.com/doc/19_04/IDntaNzAIUG_LoiHG.png

Il faut au moins être d’accords sur cette base.

Quelques explications...

Partant de l’origine O, un déplacement horizontal d’une case sur la grille représente l’événement ‘Tirer une boule blanche’. Un déplacement vertical d’une case sur la grille représente l’événement ‘Tirer une boule non blanche’.

Toutes les séquences de tirages possibles sont contenues dans le rectangle jaune.
Pour avoir des séquences contenant r blanches on a bien :
    [tex] 1 \le r \le Np [/tex]
           
Toutes les valeurs de k entre 1 et N sont possibles mais pour avoir une séquence contenant au moins une blanche (seules séquences considérées), il faut aussi :
    [tex] k > N(1-p)\quad \Rightarrow \quad X_{k} \ne 0 [/tex]

Quelques remarques...

- toutes les séquences comptant exactement r blanches se terminent sur la droite verticale rouge ;
- toutes les séquences de k tirages successifs aboutissent à la droite bleue, d’où :
    [tex] r \le k \le N(1-p)+ r [/tex]
- l’escalier (entre O et C) décrit donc une séquence possible pour obtenir r boules blanches en k tirages ;
- le point C représente l’événement {Xk = r} = ‘Tirer k boules dont r blanches’ ;
- le point A représente l’événement {Xk-1 = r-1} = ‘Tirer k-1 boules dont r-1 blanches’ ;
- le point B représente l’événement {Xk-1 = r} = ‘Tirer k-1 boules dont r blanches’ ;

Pour que le dernier tirage soit une blanche, il suffit de se limiter à k-1 tirages. La droite bleue passe alors par les points A et B, ce qui permet de voir directement que r-1 et r font partie de l’univers de Xk-1.

Dénombrements...

Le nombre de séquences qui aboutissent en C est fonction de r et k.
Noté [tex] S\left(r, k \right) [/tex] , c’est la somme du nombre [tex] S\left(r-1, k-1 \right) [/tex]  de séquences qui aboutissent en A et du nombre [tex] S\left(r, k-1 \right) [/tex] de séquences qui aboutissent à B. D’où :
    [tex] S\left(r, k \right) = S\left(r-1, k-1 \right) + S\left(r, k-1 \right) [/tex]
   
On reconnaît la formule d’itération du triangle de Pascal dont les premières lignes apparaissent au voisinage de l’origine en comptant simplement le nombre de séquences qui aboutissent en chaque point de la grille.

https://www.cjoint.com/doc/19_04/IDnwg6bCWaK_LoiHGP.png

Probabilité...

Toutes les séquences qui aboutissent en C sont équiprobables.
La probabilité de l’événement {Yr = k} repose donc sur les seuls dénombrements précédents :

Pr{Yr = k} = S(A)/S(C) = S(A)/[S(A)+S(B)] = r/k (sauf erreur).

Merci de me dire si tu es d'accord ou non jusque là.
Ensuite, il faudra vérifier toutes les assertions sur lesquelles repose ta question.

A suivre

#14 14-04-2019 08:26:11

Shadows Asgard
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

D'accord merci :-)

#15 14-04-2019 20:26:03

D_john
Invité

Re : Temps d'attente d'un rème succès lors de tirages sans remise

Heu... tu ne devrais pas être d'accord au moins sur la dernière ligne où j'ai oublié la probabilité d'une séquence !
A+

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