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#1 14-04-2019 17:41:56

Dupont
Invité

Développement limité

bonsoir à tous,

Je bloque sur [tex]\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{1}{ln(x)}-\frac{x}{x-1})[/tex]
J'ai pour l'instant changé de variable avec h=x-1 et j'ai ln(x)=ln(1+h) mais je n'arrive pas à passer à l'inverse et à combiner avec le x/x-1.

Merci d'avance

#2 14-04-2019 20:02:51

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 239

Re : Développement limité

Bonsoir,
après le changement de variable judicieux que tu as fait, il suffit de factoriser : [tex]\frac {1}{h-h^2/2}[/tex]-1-[tex]\frac {1}{h}[/tex]=[tex]\frac {1}{h}[/tex] [tex](\frac {1}{1-h/2}-1)-1[/tex].
(faire un DL de [tex]\frac {1}{ln(1+h)}[/tex] en 0 à l'ordre 2 est nécessaire et suffisant)
Puis [tex]\frac {1}{1-h/2}[/tex]  a pour équivalent 1+h/2 quand h tend vers 0 (inutile d'aller plus loin).

En remplaçant : [tex]\frac {1}{h}[/tex]*(1+[tex]\frac {h}{2}[/tex]-1)-1=[tex]-\frac {1}{2}[/tex],

La fonction dont tu cherches la limite est discontinue est 1, sa limite à gauche comme à droite de x=1 est [tex]-\frac {1}{2}[/tex]

au passage en cas de besoin : [tex]\frac {x}{x-1}[/tex]=1+[tex]\frac {1}{h}[/tex]

Dernière modification par Zebulor (18-04-2019 10:45:01)

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