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#1 14-04-2019 19:41:56
- Dupont
- Invité
Développement limité
bonsoir à tous,
Je bloque sur [tex]\lim_{x\rightarrow 1}(\frac{1}{ln(x)}-\frac{x}{x-1})[/tex]
J'ai pour l'instant changé de variable avec h=x-1 et j'ai ln(x)=ln(1+h) mais je n'arrive pas à passer à l'inverse et à combiner avec le x/x-1.
Merci d'avance
#2 14-04-2019 22:02:51
- Zebulor
- Membre expert
- Inscription : 21-10-2018
- Messages : 2 090
Re : Développement limité
Bonsoir,
après le changement de variable judicieux que tu as fait, il suffit de factoriser : [tex]\frac {1}{h-h^2/2}[/tex]-1-[tex]\frac {1}{h}[/tex]=[tex]\frac {1}{h}[/tex] [tex](\frac {1}{1-h/2}-1)-1[/tex].
(faire un DL de [tex]\frac {1}{ln(1+h)}[/tex] en 0 à l'ordre 2 est nécessaire et suffisant)
Puis [tex]\frac {1}{1-h/2}[/tex] a pour équivalent 1+h/2 quand h tend vers 0 (inutile d'aller plus loin).
En remplaçant : [tex]\frac {1}{h}[/tex]*(1+[tex]\frac {h}{2}[/tex]-1)-1=[tex]-\frac {1}{2}[/tex],
La fonction dont tu cherches la limite est discontinue est 1, sa limite à gauche comme à droite de x=1 est [tex]-\frac {1}{2}[/tex]
au passage en cas de besoin : [tex]\frac {x}{x-1}[/tex]=1+[tex]\frac {1}{h}[/tex]
Dernière modification par Zebulor (18-04-2019 12:45:01)
En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.
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