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#1 13-04-2019 12:41:29

AB
Membre
Inscription : 13-04-2019
Messages : 12

Intégrité d'un anneau principal ?

Bonjour,

1er message pour moi sur ce forum et avant de poser ma première question, je tiens à remercier son ou ses auteur(es) !
Mais il faut un sujet par discussion donc voici ma question :

Elle concerne l'exercice 24 - Suite d'idéaux et anneau principal de la fiche Anneaux dans la catégorie Algèbre :

http://www.bibmath.net/ressources/index … &type=fexo

Question 1 :
Soit A un anneau principal.
1) On suppose que toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'idéaux de A est stationnaire. Montrer que A est un corps.

Dans la correction proposée, il est écrit :
"...On peut réécrire ceci en ap(1−au)=0 ce qui implique, car A est intègre..."
Or il n'est pas précisé dans les hypothèses que l'anneau est intègre.

D'autre part, si je ne fais pas d'erreur, un anneau principal n'est pas forcément intègre. Un contre exemple est donnée dans l'ex 22 de la même fiche où on montre que :
"Soit n≥2, l'anneau Z/nZ est principal."
Or si n n'est pas premier, Z/nZ n'est pas intègre"

Pour revenir, à l'ex 24, je suppose donc que l'intégrité de l'anneau A découle de l'hypothèse : "toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'idéaux de A est stationnaire" mais je n'arrive pas à le prouver. Pouvez vous s'il vous plait me dire si mon raisonnement est correct et quoiqu'il en soit me donner un indice pour prouver l'intégrité de cet anneau ?

J'espère avoir été clair (faute d'avoir été concis) et merci d'avoir pris en compte ma question.

Hors ligne

#2 13-04-2019 17:16:42

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 207

Re : Intégrité d'un anneau principal ?

Bonjour

  C’est très clair et c’est dans l’exercice 22 qu’il y a un problème : usuellement on définit un anneau principal comme étant intègre (cf http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … upart.html ).

F

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#3 13-04-2019 19:03:18

AB
Membre
Inscription : 13-04-2019
Messages : 12

Re : Intégrité d'un anneau principal ?

Merci, c'est effectivement très clair !

L'énoncé de l'ex 22 devrait donc être (éventuellement):
"Soit n≥2. Démontrer que tous les idéaux de l'anneau Z/nZ sont principaux."
Et c'est pour ça que je n'ai pas vu d'erreurs dans la correction. (Ça me rassure)
Et on pourrait ajouter "Dans quel cas, peut on dire que Z/nZ est principal ?"
Qu'en pensez vous ?

Mon problème venait du fait que je me basais sur un cours où :
- Un idéal et un idéal principal sont définis sur anneau commutatif. (OK)
- Un anneau principal est simplement défini comme n'ayant que des idéaux principaux !
Et l'énoncé de l'ex 22 me confirmait cette erreur.

Je cherchais donc à démontrer l'intégrité d'un anneau principal alors que cela fait partie de la définition...

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#4 13-04-2019 21:40:40

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 207

Re : Intégrité d'un anneau principal ?

Ce serait effectivement un bien meilleur énoncé !

Hors ligne

#5 14-04-2019 13:22:24

AB
Membre
Inscription : 13-04-2019
Messages : 12

Re : Intégrité d'un anneau principal ?

Merci Fred.

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