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#1 03-04-2019 20:18:19

Rogier
Invité

angles d'un tetraedre

Bonsoir,
Je cherche à calculer un angle sur un tetraèdre irrégulier, dont je connais tous les autres. Trois faces sont des triangles rectangles. Je ne sais pas où chercher : merci si quelqu'un a une piste.
en fait c'est une approximation pour un problème de construction mécanique
Merci par avance

#2 04-04-2019 07:11:37

yoshi
Modo Ferox
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Re : angles d'un tetraedre

Bonjour,

190404080601152669.png
Voilà un tétraèdre irrégulier avec 3 faces qui sont des triangles rectangles.
Qu'est-ce que tu connais là-dedans ?
- Les angles ? Lesquels et quelle valeurs ? Lequel veux-tu ?
- Des longueurs ? Lesquelles et quelles sont-elles ?

@+


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#3 04-04-2019 08:26:58

Rogier
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Bonjour et merci de m'orienter
je n'ai aucune longueur, que des angles
Je l'ai dessiné sur paint mais je ne sais comment le mettre dans le message
Les angles droits ne sont pas contigus. Il n'y en a que deux ensemble et je cherche la "pente" du côté opposé
Merci encore

#4 04-04-2019 09:42:24

yoshi
Modo Ferox
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Re : angles d'un tetraedre

Re,

Le plus simple :
mettre ton image sur https://www.cjoint.fr.
Récupérer le lien et le coller dans ta réponse : on ira voir...
Attention internet n'accepte que les images en .png ou en .jpg...

@+


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#5 04-04-2019 09:57:49

Rogier
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Re
Firefox refuse le site cijoint
Les autres angles connus sont 30° pour un triangle, 35° pour un autre
J'en déduit les autres angles, mais il reste l'inconnu
cdt

#6 04-04-2019 11:45:54

yoshi
Modo Ferox
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Re : angles d'un tetraedre

Re,

Ce n'est pas cijoint mais cjoint:
https://www.cjoint.com/
Testé avec Firefox dernière version : fonctionnel alors que j'ai en plus noscript et unlock...
Mon lien est cliquable.

Les autres angles connus sont 30° pour un triangle, 35° pour un autre

Sur ton dessin, écris les noms des 4 sommets et inscris les valeurs dans les angles connus. C'est déjà fait ? Ok ! Je n'ai rien dit...
Si dans l'un des triangles il te manque un angle et un seul, alors désolé si j'enfonce une porte ouverte :
La somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°.
Si dans un triangle il te manque un angle, alors il vaut 180 - (somme des deux autres)...

@+


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#7 04-04-2019 17:29:43

Rogier
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Bonsoir
Oui la somme des angles d'un triangle, ça va !
Mais ça c'est plus dur ou bien j'ai fait une erreur



https://www.cjoint.com/c/IDeqB7lv1ml

J'ai vu qu'on additionne les angles d'un tetraèdre, c'est peut-être ça ?

Merci, car là je bloque

#8 04-04-2019 20:36:44

yoshi
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Re : angles d'un tetraedre

Bonsoir,

Oui, je ne suis pas surpris...
Je suis allé voir cette histoire d'angles : on parle d'angles solides et c'est pas de la tarte...
Je laisse courir...
A partir du dessin, j'ai effectué une symétrie par rapport à l'horizontale, puis sur  l'image obtenue, j'ai appliqué une symétrie par rapport à la verticale  :
190404091020801577.png

Et là j'ai vu que la droite (AD) est perpendiculaire au plan du triangle CAD et ça m'a donné une idée (double).
En géométrie dans l'espace existe aussi un repère orthonormé (Oxz) qu'on représente comme ça :

          z
          |
          |
          |                                                                    
          |
          |                                                                                
          |___________y
         /O
        /
       /
      /
     x

Je vais mettre A en O, D sur [Oz) et z dans le plan (xOy)
Dans un premier temps, je vais donner une valeur arbitraire à la longueur AC, je vais l'appeler a...
Quelle que soit la dimension choisie pour AC, que je la double, la triple ou divise par 2, toutes les autres longueurs des triangles, doubleront, tripleront, ou seront divisées par 2 et les angles seront conservés...
Je vais donc calculer, via la trigonométrie, toutes les autres longueurs en fonction de a.
A partir des 3 longueurs du triangle DBC, j'en tirerais les angles qui ne dépendront pas de la longueur a choisie.

Sur la même base j'ai une 2e idée au cas où...

Je vérifie ça demain matin : là, c'est trop tard pour moi.

Au passage :

Rogier a écrit :

Je cherche à calculer un angle sur un tetraèdre irrégulier, dont je connais tous les autres

D'où mon rappel sur la somme des angles d'un triangle, sinon, je me serais abstenu, parce qu'en fait, ce n'est pas un angle, mais deux qui manquent !

@+


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#9 05-04-2019 10:35:22

yoshi
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Re : angles d'un tetraedre

Bonjour,

Alors si je comprends bien, ce n'est même pas 2 angles qu'il manque , mais 3 : les 3 angles du triangle DBC... et même 5 (avec les 2 du triangle BAC)
190405105502702360.png

Puisque c'est vrai pour n'importe quelle valeur de a, j'ai pris a =1

En outre, il m'a paru plus approprié de choisir AD=1 plutôt que AC.

BAD rectangle en A est la moitié d'un triangle équilatéral BD = 2AD =2  et et la longueur de [BA] hauteur du triangle équilatéral vaut $DA\sqrt 3$, soit $\sqrt 3$

Dans le triangle ADC rectangle en C, $\cos \hat C=\dfrac{DA}{AC}$ soit $\cos 35 = \dfrac{1}{AC}$ donc $AC = \dfrac{1}{\cos 35}$

Dans le triangle BAC rectangle en C, pour le calcul de l'hypoténuse BC, je fais appel au théorème de Pythagore :
$BC =\sqrt{(\sqrt 3)^2+\left(\dfrac{1}{\cos 35}\right)^2}$

Dans le triangle DBC, dont j'ai maintenant les 3 côtés, je vais faire appel au théorème d'Al Kashi :
$DC^2=BD^2+BC^2-2\times BD\times BC\times \cos(\widehat{DBC})$
D'où je tire :
[tex]\cos(\widehat{DBC})=\dfrac{BD^2+BC^2-DC^2}{2\times BD\times BC}[/tex]
Et pour passer du cos à l'angle, je vais utiliser la "marche arrière, l'arc cosinus")
[tex]\widehat{DBC}=\arccos\left(\dfrac{BD^2+BC^2-DC^2}{2\times BD\times BC}\right)[/tex]

Quelle précision sur les angles ?

Je trouve un angle [tex]\widehat{BDC}=90°[/tex] correct ou pas ?

Si oui, alors [tex]\widehat{DBC}\approx 19,3^\circ[/tex]  et  [tex]\widehat{BCD}\approx 70,7^\circ[/tex]

@+

Dernière modification par yoshi (05-04-2019 11:12:44)


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#10 05-04-2019 21:31:00

D_john
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Salut à tous,

Oui yoshi BDC est bien un angle droit (en vertu du théorème des 3 perpendiculaires).
Les calculs deviennent simples à partir de tes figures en écrivant :
DC = 1*tan(35°) = 2*tan(DBC)
A+

#11 06-04-2019 09:32:17

yoshi
Modo Ferox
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Re : angles d'un tetraedre

Re,

Oui yoshi BDC est bien un angle droit (en vertu du théorème des 3 perpendiculaires).

Théorème des 3 perpendiculaires, ça ne me disait rien, alors j'ai cherché...
Et je l'ai (re) découvert : effectivement, j'avais vu ça en geo dans l'espace en 2e M ou 1ere M (c'est dire si ça date !), mais je ne crois pas l'avoir jamais utilisé
Merci

Les calculs deviennent simples à partir de tes figures en écrivant :
DC = 1*tan(35°) = 2*tan(DBC)

Ça, par contre, tu pouvais t'abstenir, sachant que l'angle était droit je n'avais pas besoin de toi pour ce calcul...

A défaut d'une réponse de notre ami (le reverra-t-on ?), tu m'as confirmé que mes calculs étaient exacts, j'en suis satisfait.

@+


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#12 06-04-2019 11:09:39

Rogier
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Bonjour
J'ai été très surpris par l'angle BDC à 90°
L'objectif final est de déterminer la "pente" ABC. On me dit que cela devrait être 35°
je ne le vois pas dans votre démonstration
Comme je l'ai déjà écrit, c'est une approximation, une idée perso pour évaluer une sorte d'hélice
je vais regarder dès que possible cette loi des trois perpendiculaires

Sinon j'avais noté les éléments que vous avez utilisé, une longueur arbitraire et des calculs trigonometriques développés : je suis content de mon intuition

je vais vérifier avec un autre moyen, ce WE peut-être

MERCI BEAUCOUP et à bientôt pour la vérification

#13 06-04-2019 11:45:28

yoshi
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Re : angles d'un tetraedre

Re,

Théorème des 3 perpendiculaires
Paragraphe 1.e
Surpris ou pas, avec tes données rien à redire...
[tex]\widehat{BDC}[/tex] est le premier des 3 angles que j'ai calculé : j'obtenais : 90,0000000003° rt D_John a confirmé avec le théorème qui va bien

L'objectif final est de déterminer la "pente" ABC. On me dit que cela devrait être 35°
je ne le vois pas dans votre démonstration

Normal ! Tu m'as demandé [tex]\widehat{DBC}[/tex]  et  [tex]\widehat{DCB}[/tex], je t'ai calculé [tex]\widehat{DBC}[/tex]  et  [tex]\widehat{DCB}[/tex]

Maintenant si tu veux [tex]\widehat{ABC}[/tex], le voilà :
[tex]\tan(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BA}=\dfrac{\;\dfrac{1}{\cos 35}\;}{\sqrt 3}=\dfrac{1}{\sqrt 3\times \cos 35}[/tex]

[tex]\widehat{ABC}=\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt 3\times \cos 35}\right)\approx 35,17^\circ[/tex]

Ça te va ?

@+


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#14 06-04-2019 12:03:19

D_john
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Bonjour à tous,

yoshi a écrit :

Re,

Ça, par contre, tu pouvais t'abstenir, sachant que l'angle était droit je n'avais pas besoin de toi pour ce calcul...

Pardon si je t'ai blessé, ce n'était pas du tout mon intention. Je vois bien que la trigo ne te pose aucun Pb. En revanche ce n'est pas le cas de Rogier. A ce propos, je ne comprends pas ce que signifie 'pente ABC" et je ne crois pas que ce soit dû à mes neurones en compote actuellement.
A+

#15 06-04-2019 13:14:47

yoshi
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Re : angles d'un tetraedre

Re,

Bin, j'en ai déduit qu'il voulait l'angle [tex]\widehat{ABC}[/tex] et qu'il l'attendait à 35°...
Je l'ai trouvé à 35,17...

Il a été surpris que je ne l'aie pas utilisé : peut-être le pensait-il nécessaire pour avoir les angles demandés.
Bin non...

@Rogier

Rogier a écrit :

je vais vérifier avec un autre moyen, ce WE peut-être

Vérifier quoi ? Mes calculs ?
Ma foi, si oui, tu as du temps à perdre, sans compter que venir sur un forum de Maths, chercher des réponses, se voir fournir lesdites réponses et avec le détail des calculs afin que tu puisses les refaire, alors que je n'étais pas obligé (mais 38 ans de prof, ça ne s'efface pas comme ça), c'est un  peu - comment dire - indélicat (?).
Avec tes données ces calculs sont exacts à 100%...

@+


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#16 06-04-2019 19:08:23

Rogier
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Bonsoir
Oui je suis surpris de ne pas avoir vu l'angle à 90° qui se déduit par construction, c'est le même angle que l'autre rayon qui a pivoté
Sinon je ne vérifie pas vos calculs, respect
Par contre un collègue mesure l'angle sur un dessin 3D et a bien votre angle sans vos calculs : c'est ce que j'appelle une vérification
Pour une hélice à quatre ailes, ce n'est plus un angle de 30 mais 45 ° et on devrait trouver 100°. Si vous pouviez me montrer le calcul avec 45°, je serais encore plus admiratif

je revendique seulement le mérite d'avoir eu l'idée de réduite notre pale d'hélice à un tetraèdre, pour pou150voir faire les calculs trigo ensuite
Mais je pense que les hélices ont leur propre mode de calcul et c'est ce que je vais chercher

En tout cas, merci beaucoup et mes respects pour votre science

#17 07-04-2019 12:51:52

yoshi
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Re : angles d'un tetraedre

Bonjour,

Pour une hélice à quatre ailes, ce n'est plus un angle de 30 mais 45 ° et on devrait trouver 100°. Si vous pouviez me montrer le calcul avec 45°, je serais encore plus admiratif

Précisions :
1. Toujours le même modèle, avec les mêmes angles droits ?
2. 45° au lieu de 30°. Pour l'angle [tex]\widehat{ABD}[/tex] ? Mais alors il y aura iune incidence sur vos angles donnés à 35° et 55° sauf si, pour garder les angles droits on fait le minimum de manipulations :  diminuer la longueur BD (rapprocher B de D).
Avec  [tex]\widehat{ABD}=45^\circ[/tex] on a [tex]\widehat{ADB}=45^\circ[/tex]
ABD triangle rectangle et isocèle.
Avec AD=1 alors AB =1 et $BD =\sqrt 2$
Si le triangle ADC ne change pas, alors $AC=\dfrac{1}{cos 35}$ ...

Ah, au  fait quel angle va faire 100° ? Si c'est  [tex]\widehat{ABC}[/tex] impossible si je garde l'angle droit [tex]\widehat{BAC}[/tex]
Avec cette hypothèse :
[tex]\widehat{ABC}[/tex] passe de $35,17^\circ$ à [tex]\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt 2 \times \cos 35}\right)\approx 50,67^\circ[/tex]

Donc, des choses m'échappent sur la nouvelle configuration de base de votre tétraèdre.
Vous voulez bien être plus précis s'il vous plaît ?

@+


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#18 07-04-2019 16:45:09

Rogier
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Bonjour et merci pour votre persévérance, car je craignais de lasser
Voici un nouveau dessin avec les angles connus et quelques explications
Il s'agit d'une hélice théorique, en principe avec chaque pale en force de secteur d'hélice, que j'ai réduit à une demi-pale puis à un tétraètre

une petite question subsidiaire : pourquoi le résultat, l'angle en degrés, n'est pas un chiffre rond ?
Enfin, je conclue en indiquant que, sans vouloir vexer personne, il y a sans doute des outils spécifiques aux hélices, permettant par exemple des dessins de constructions réelles, mais je ne les connais pas encore
Et merci beaucoup pour votre aide
Bien cordialement

https://www.cjoint.com/c/IDhpMS8vrxl

#19 07-04-2019 19:17:36

yoshi
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Re : angles d'un tetraedre

RE,

une petite question subsidiaire : pourquoi le résultat, l'angle en degrés, n'est pas un chiffre rond ?

Pourquoi la valeur de l'angle serait-elle entière ou finie ? C'est plutôt rare...
Et je ne t'ai fourni que 2 décimales...
Choisis, au hasard une valeur d'angle finie, et cherches-en le sin, le cos et la tan... combien de fois sur 100 as-tu une valeur ronde ?
Sinus         0      0.5      $(\sqrt 2)/2$       $(\sqrt 3)/2$       1
angle         0°     30°         45°             60°        90°
 
Cosinus       0      0.5    $(\sqrt 2)/2$       $(\sqrt 3)/2$       1 
angle        90°     60°        45°           30°          0°

Tangente    0     $(\sqrt 3)/3$        1         $\sqrt 3$       $\infty$ (n'existe pas)
angle         0°       30°         45°        60°          90°

Enfin, je conclue en indiquant que, sans vouloir vexer personne, il y a sans doute des outils spécifiques aux hélices, permettant par exemple des dessins de constructions réelles, mais je ne les connais pas encore

Bin, moi non plus...

Alors tu confirmes ce que je pensais.
Désaccord total pour 100°.

Je disais donc que si l'angle [tex]\widehat{ABD}=45^\circ[/tex], l'autre angle [tex]\widehat{ADB}=45^\circ[/tex] aussi
Avec 2 angles égaux, le triangle ABD est isocèle  AB =AD =1
et comme l'angle [tex]\widehat{DAB}[/tex], le triangle est aussi rectangle.

Les angles du triangle ADC ne changeant pas, ni la valeur du côté |AD]; les valeurs des autre côtés ne changent pas non plus
Mais la théorème des [tex]\widehat{ADB}[/tex]...

Triangle ABC.
L'angle  [tex]\widehat{BAC}[/tex] restant droit,
Le côté [AC] n'ayant pas changé (il vient du triangle ADC qui est resté le même),
Le côté [AB]  a changé, sa longueur est maintenant $\sqrt 2\approx 1,414...$ au lieu de $\sqrt 3\approx 1,732...$
la longueur du côté [BC] a changé : $\sqrt{2 +\left(\dfrac{1}{\cos 35}\right)^2}$.

Mais je ne m'en sers pas pour calculer $\widehat{ABC}$ (pas nécessaire)
$\tan(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\;\dfrac{1}{\cos 35}\;}{\sqrt 2}=\dfrac{1}{\sqrt 2\times \cos 35}$

D'où $\widehat{ABC}=\arctan\left(\dfrac{1}{\sqrt 2\times \cos 35}\right)$

Et pan sur les doigts !
en faisant les calculs numériques ce matin, j'ai oublié d'introduire la racine de 2 dans mon calcul.
Rectification numérique (parce que la formule littérale reste) !
$\widehat{ABC}\approx 40.80135087352267..^\circ$
C'est mon dernier mot.

Solutions pour augmenter l'angle  [tex]\widehat{ABD}[/tex] à $45^\circ$
1. Je laisse (BD) perpendiculaire au plan du triangle ADC, et je descends B vers A. Tous les angles droits restent.
    C'est ce que j'ai fait ci-dessus.
2. Dans le plan du triangle ADC, je tire sur le point D pour l'éloigner de A, ce qui a pour effet d'augmenter l'angle [tex]\widehat{ABD}[/tex] .
    Mais, dans ce cas l'angle [tex]\widehat{ADC}[/tex] n'est plus droit.
    Explication :
    D est sur le cercle de diamètre [AC], tirer sur D, c'est le sortir de sur le cercle et l'angle ne sera plus droit...

Je repose donc autrement ma question de ce matin : qu'est-ce qui a changé dans les longueurs des côtés pour pour avoir un angle  [tex]\widehat{ABD}[/tex] de $45^\circ$ ?
Voilà un nouveau dessin éclaté : par rapport à celui du post#9, j'ai descendu le point B en direction de A. Les côtés et les angles inchangés devraient se superposer sans rotation, uniquement par translation, sur les côtés du dessin post #9.
J'y ai veillé.
Vous aurez l'assurance que seul B a été déplacé vers le bas, en gardant les angles [tex]\widehat{BAD}[/tex]
190407080711107313.png  et [tex]\widehat{BAC}[/tex] par rapport à #9.

Vous avez donc de quoi comprendre parfaitement ce que j'ai expliqué comme méthode n°1

Avez-vous, vous, une autre modification faite ?

@+


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#20 07-04-2019 22:28:45

Rogier
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Bonsoir
J'ai fait un modèle en carton et je trouve bien 50 ° tout rond
Je trouverais pas l'explication ce soir...
A bientôt

#21 08-04-2019 00:58:11

yoshi
Modo Ferox
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Re : angles d'un tetraedre

Re,


Ne cherchez plus !
J'ai eu un doute qui m'empêchait de dormir, je me suis relevé...
Je vois votre réponse, je regarde mieux et je trouve très vite : mauvais report de la valeur d'un côté sur le dessin, déjà ce matin, mais "coup de chance", deuxième erreur dans le calcul numérique où j'ai oublié la racine de 2.
Ce soir, je m'en aperçois, je corrige et le résultat était faux : pas de $\sqrt 2$ puisque c'est 1.
Cette nuit, je me relève et constate ma sottise avec horreur.

Tout rentre dans l'ordre :
19040801073693610.png
$\tan(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\;\dfrac{1}{\cos 35}\;}{1}=\dfrac{1}{\cos 35}$
$\widehat{ABC}=\arctan\left(\dfrac{1}{\cos 35}\right)\approx 50.67731009035997^\circ$
Soit
$50,68^\circ$ à $0,01^\circ$ près
ou
$50,7^\circ$ à $0,1^\circ$ près
ou
$51^\circ$ à $1^\circ$ près.
Choisissez votre arrondi.

Et non votre modèle en carton ne vous donne pas 50° tout rond !
Vous oubliez que votre modèle est un modèle physique donc imparfait entaché de l'imperfection du report des mesures lors de la construction, de l'imperfection du passage du développé au solide, de l'imperfection du matériau utilisé, de l'imperfection de la découpe du contour du développé (je préfère ce terme à celui de patron), et encore de l'imperfection de l'instrument de mesure...
Rien que de très normal.
Donc non, pas 50° tout rond.

Sur votre solide vous avez mesuré un angle voisin de 50°...
Et même le calcul n'est pas parfaitn puisque soit ma calculatrice, soit Python mon langage de programmation, ne peuvent pas me donner une valeur exacte :
$cos 35$ n'a pas de valeur exacte ---> ma calculatrice donne  0.819152044
donc $\dfrac{1}{\cos 35}$ non plus, ---> ma calculatrice donne 1.220775689 (valeur de la tangente)

Et $\arctan\left(\dfrac{1}{\cos 35}\right)$ non plus également puisque le langage Python me donne en standard 50.67731009035997°,  --> ma calculatrice donne 50,6773101° parce qu'elle a arrondi, pour l'affichage, le 09 qui  suit le 110 en 10 dont ledit affichage ne retient que le 1.
Donc Python me donne  1.220775689 pour la tangente
Et si je prends 50° tout rond et que j'en demande la tangente, j'obtiens 1.19175359259421et non 1,22...

Ma calculatrice me donne 10 décimales (comme sur toutes les calculatrices scientifiques, en "rusant", je peux aller en pêcher 3 autres), le langage Python me permet de décider du nombre de décimales dont je veux disposer : 20, 50, 100, 1000... au détriment de la vitesse.

Vous savez mieux que moi que toute pièce mécanique de précision (par ex dans l'aviation) est usinée avec une tolérance, une marge d'erreur plus ou moins grande selon sa destination....

Bon voilà, cette fois, c'est bon, "cochon qui s'en dédit".
Avec vos 50°, vous confirmez mon résultat. Au fait quelle est la tolérance d'usinage d'une pale d'hélice ?

Exit donc les 100°...

Avec mes excuses.

@+

[EDIT]Calcul ridicule, mais juste pour le plaisir de l'exercice...
Calcul de $\widehat{ABC}$ avec 100 décimales :
50.6773100903599680573797829163556954445229739603410726052974053189703061866683618484146123152564195054

Dernière modification par yoshi (08-04-2019 08:51:48)


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#22 08-04-2019 07:22:41

Rogier
Invité

Re : angles d'un tetraedre

Bonjour et merci beaucoup pour la solution à 4 ailes donc 100° et 50° pour le tétraèdre
Je commence une nouvelle semaine à devoir faire d'autres choses mais je vais bien regarder pour la formule générale : Nombre de pales, Angle du secteur d'origine, cet angle divisé par deux... et la "pente" du tétraèdre, pente x 2 ensuite
De l'angle à la "pente", je devine une formule voisine de ce qu'il existe pour les ellipses mais je découvre le sujet
Rappelez-vous que l'angle recherché est en fait un angle de secteur d'ellipse, le tétraèdre est un "modèle"
Que je sache, les tolérances pour la fabrication des hélices sont extrêmement strictes, d'autant que tout cela se déforme en fonctionnement, pales, ailes, etc
Il faut que les pales soient identiques, sinon cela ne va pas, vibrations, résonances et boum
D'où, pour les anciennes fabrications (c'est notre sujet), tout une phase de réglage/équilibrage
On cherche à ce stade à comprendre plutôt la théorie, les anciens calculs, voire les très très très anciens calculs d"hélices
Mais les anciens étaient savants, il faut chercher à les comprendre, c'est tout

Bien cordialement

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