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#1 12-03-2019 13:23:35

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 103

polynome

Bonjour

merci de m'aider svp pour montrer que :

$∀n ∈ N,  ∃ λ_{0}, . . . , λ_{n} ∈ R, ∀P ∈ R_{n}[X] : \int_{0}^{1}P(t) dt =\sum_{k=0}^{n} λ_{k}P(\frac{k}{n})$

merci d'avance
bonne journée


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#2 12-03-2019 15:48:11

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 407

Re : polynome

$P \mapsto \int_0^1 P(t)\,dt$ et $P\mapsto P\left(\frac{k}{n}\right)$ pour $k=0,\ldots,n$ sont des formes linéaires sur $\mathbb R_n[X]$. Quelle est la dimension du dual de cet espace ?

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#3 12-03-2019 19:56:16

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 103

Re : polynome

merci pour votre réponse.

on n'a pas étudié encore l'espace dual.
En effet, j'ai trouvé cet exercice dans un ensembles d'exercices sur les polynomes, et j'ai voulu le faire.
existe-elle une autre méthode sans faire appel aux notions de "dual" ?

merci d'avance
bonne journée


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#4 12-03-2019 21:41:04

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 407

Re : polynome

Oui, on peut utiliser l'interpolation de Lagrange.

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#5 12-03-2019 22:23:57

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 103

Re : polynome

merci
on n'a pas fait cette partie dans le cours des polynomes.
dois-je lire chercher cette partie pour le comprendre ? est-ce très utile dans les exos ?

bonne journée


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#6 12-03-2019 22:26:22

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 407

Re : polynome

Fais plutôt les exercices qui correspondent à ton cours.

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#7 13-03-2019 07:08:47

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 103

Re : polynome

Okay.

Merci bcps


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#8 13-03-2019 10:44:23

D_john
Invité

Re : polynome

Salut à tous,

Si j’ai bien compris le problème, il s’agit de montrer qu’il existe au moins un jeu de n+1 paramètres...

[tex] \exists~?~\lambda_{0} \dots \lambda_{n} \in\mathbb{R} [/tex]

Il suffit pour cela de couper l’intervalle d’intégration en p = n+1 morceaux [0, 1/p], [1/p, 2/p]... [n/p, 1]
puis d’identifier termes à termes pour obtenir tous les paramètres.

Mais j’ai un doute car ça me semble trop facile pour le niveau supérieur...
A suivre.

#9 13-03-2019 12:49:24

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 407

Re : polynome

Bonjour,

Ça a beau être trop facile, je ne comprends pas. Peux-tu expliquer, D_john ?

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#10 13-03-2019 15:42:35

D_john
Invité

Re : polynome

@ Michel
... euh ! Il me semblait bien que je n'avais pas compris le problème : On cherche en fait un jeu de paramètres unique qui satisfait l'égalité proposée quel que soit le polynôme de degré n (au plus). C'est bien ça ?
Pour un polynôme donné c'est évidemment trop simple (pour ne pas dire idiot) !

#11 13-03-2019 15:57:49

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 407

Re : polynome

Je ne comprends toujours pas ton histoire de découper l'intervalle d'intégration. Bon, pas d'importance ...

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