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#1 13-10-2007 16:55:42

FleuVe
Membre
Inscription : 04-10-2007
Messages : 30

f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Salut à tous.

La question est dans le titre je vais tenter de l'écrire en Tex.

Si on a f surjective.

[tex]f^{-1}(A \bigcap B) = f^{-1}(A) \bigcap f^{-1}(B)[/tex]

C'est vrai ou pas?? j'ai comme un gros doute.

merci.

Dernière modification par FleuVe (13-10-2007 16:59:34)

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#2 13-10-2007 21:21:26

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Salut,

  Le mieux c'est d'essayer de le prouver :

* Soit x dans [tex]f^{-1}(A\cap B)[/tex].
  Alors il existe y de [tex]A\cap B[/tex] tel que y=f(x).
Mais alors, x est dans [tex]f^{-1}(A)[/tex] puisque y=f(x) est dans A et de
même x est [tex]f^{-1}(B)[/tex].

* Soit x dans [tex]f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)[/tex].
Alors il existe y dans A et Z dans B tel que y=f(x) et z=f(x).
Mais alors, y=z est dans [tex]A\cap B[/tex] et on a bien x élément de [tex]f^{-1}(A\cap B)[/tex].

En conclusion, on a bien l'égalité demandé. Tu pourras remarquer que cela n'utilise pas du tout le fait que f est surjective....

Tu pourras t'exercer en démontrant que :
f surjective ssi [tex]f(f^{-1}(B))=B[/tex] pour tout B.

Fred.

PS : Merci pour le titre précis!

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#3 14-10-2007 11:11:47

FleuVe
Membre
Inscription : 04-10-2007
Messages : 30

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Merci fred, je vais regarder ca ca m'étonne un peu (un peu de mal à saisir la première inclusion).

Et sinon la même question avec Union au lieu de Inter? Besoin de la surjectivité?

C'est pour montrer un théorème en fait et si je n'utilise pas la surjectivité il y a un bug ^^.


merci.

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#4 14-10-2007 16:24:31

FleuVe
Membre
Inscription : 04-10-2007
Messages : 30

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

re,
Avec l'union idem pas besoin de surjectivité, par contre:

[tex]f:E->F[/tex]
[tex]f^{-1}(F)=E[/tex] c'est p-e mieu que f soit surj :blonde:

merci

Dernière modification par FleuVe (14-10-2007 16:25:15)

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#5 14-10-2007 19:21:29

john
Membre actif
Inscription : 10-02-2007
Messages : 543

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Bonsoir,
Tout ceci est "un peu" ancien pour moi et je sais que je ne devrais plus intervenir sur ces questions mais j'ai un gros doute about le premier message de FleuVe et la réponse de Fred :
1/ Si f est seulement surjective elle n'est pas inversible et donc je ne vois pas bien ce que représente f^-1(A^B).
2/ Si f^-1 existe et qu'en plus f est surjective alors f est bijective et la question de FleuVe est triviale.
Il est très possible que je fasse erreur donc merci de bien vouloir m'éclairer.
A+

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#6 14-10-2007 19:55:15

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Salut,

  La notation f^-1(A) désigne l'image réciproque de A, c'est-à-dire l'ensemble des x tels qu'il existe y dans A avec y=f(x).

cf par exemple http://www.bibmath.net/dico/index.php3? … image.html.

Fred.

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#7 14-10-2007 21:23:28

FleuVe
Membre
Inscription : 04-10-2007
Messages : 30

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

re,

Fred pour avoir [tex]f^{-1}(F)=E[/tex] il faut quoi? f inj ou surj et pour [tex]f(E)=F[/tex]? jme perd là ...


merci

Dernière modification par FleuVe (14-10-2007 21:23:45)

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#8 15-10-2007 00:18:04

romu
Membre
Inscription : 15-09-2007
Messages : 32

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Bonsoir,

Pour toute application [tex]f[/tex] de [tex]E[/tex] dans [tex]F[/tex], on a [tex]f^{-1}(F)=E[/tex]. On a pas besoin qu'elle soit injective ou surjective, cette égalité est vérifiée pour toutes les applications de [tex]E[/tex] dans [tex]F[/tex].

En effet [tex]f^{-1}(F)=\{x\in E:\ f(x)\in F\} \subset E[/tex]
or pour tout [tex]x\in E[/tex], [tex]f(x)\in F[/tex] par définition de [tex]f[/tex]. Donc [tex]E \subset f^{-1}(F)[/tex].
Par conséquent, on a [tex]f^{-1}(F)=E[/tex].

Tu dois confondre avec [tex]f:E\rightarrow F[/tex] est surjective si et seulement si [tex]f(E)=F[/tex].

Dernière modification par romu (15-10-2007 00:21:52)

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#9 15-10-2007 11:04:17

john
Membre actif
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Messages : 543

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Bonjour à tous,
Effectivement Fred, c'est élémentaire et ça me rappelle même qqchose !
Il n'en reste pas moins vrai qu'avec 30 ans de recul, cette notation f^-1 me semble osée.
Merci et A+

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#10 15-10-2007 11:17:33

romu
Membre
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Messages : 32

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

N'empêche que c'est la notation la plus fréquente. :)

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#11 15-10-2007 11:34:44

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Qd j'étais plus jeune, mon prof avait introduit cela avec les notations
[tex]f^{-}(A)[/tex] (sans le 1 donc), et je trouve cela mieux effectivement.
Mais cela n'apparait jamais dans les livres...

F.

Dernière modification par Fred (15-10-2007 12:50:17)

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#12 15-10-2007 12:26:56

romu
Membre
Inscription : 15-09-2007
Messages : 32

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

oui, parfois on rencontre les notations [tex]f_*[/tex] pour l'image directe, et [tex]f^*[/tex] pour l'image réciproque.

Sinon j'ai aussi vu dans un cours la notation [tex]\stackrel{-1}{f}[/tex] pour l'image réciproque (à distinguer avec [tex]f^{-1}[/tex] pour l'application réciproque de [tex]f[/tex] lorsque [tex]f[/tex] est bijective).

Dernière modification par romu (15-10-2007 12:28:22)

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#13 15-10-2007 13:44:20

Bonjour
Invité

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Pour ma part, j'ai appris que la notation avec des parenthèses représente l'application réciproque (dans le cas où f est bijective) :
[tex]f^{-1}(x)[/tex]
et que lorsque l'on ne considère que l'image réciproque d'un ensemble (ou un singleton) on utilise des crochets :
[tex]f^{-1}\{A\}[/tex]

Je trouve que c'est une bonne notation, les crochets rappellant que nous obtenons un ensemble dans le deuxième cas.

#14 15-10-2007 15:07:58

FleuVe
Membre
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Messages : 30

Re : f^-1(A inter B) = f^-1 (A) inter f^-1 (B) si f surjective. [Résolu]

Fred a écrit :

Qd j'étais plus jeune, mon prof avait introduit cela avec les notations
[tex]f^{-}(A)[/tex] (sans le 1 donc), et je trouve cela mieux effectivement.
Mais cela n'apparait jamais dans les livres...

F.

Salut merci


C'est vrai ca pose souvent des problèmes.

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