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#1 14-02-2019 13:35:03

Pinot12
Invité

Equation polynomiale de degré 4

Bonjour à tous,

J'essaye de factoriser l'équation polynomiale de degré [tex]4[/tex], suivante : [tex]P(x) = x^4 - x^3 - 1[/tex] en fonction de ses coefficients en pensant utiliser par exemple la méthode de Ferrari, à l'aide de Wolframalpha : https://www.wolframalpha.com/input/?i=f … +x%5E3+-+1 , mais ça ne marche pas. Wolfram me donne une factorisation avec des racines numériques comme en cours d'analyse numérique malheureusement. Moi je voudrais obtenir des racines de ce polynôme en fonction ses coefficients, des racines n'ième de l'unité, les radicaux, ainsi que les 4 opérations élémentaires. Comment obtenir cette factorisation ?

Merci d'avance.

#2 14-02-2019 14:25:19

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 406

Re : Equation polynomiale de degré 4

Bonjour,

C'est ça que tu veux ?
In:

solve(x^4-x^3-1,x)

Out:

[x == -1/4*sqrt(1/3)*sqrt((12*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(2/3) + 3*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 16)/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)) - 1/2*sqrt(-(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 3/2*sqrt(1/3)/sqrt((12*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(2/3) + 3*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 16)/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)) + 4/3/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) + 1/2) + 1/4, x == -1/4*sqrt(1/3)*sqrt((12*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(2/3) + 3*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 16)/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)) + 1/2*sqrt(-(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 3/2*sqrt(1/3)/sqrt((12*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(2/3) + 3*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 16)/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)) + 4/3/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) + 1/2) + 1/4, x == 1/4*sqrt(1/3)*sqrt((12*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(2/3) + 3*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 16)/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)) - 1/2*sqrt(-(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) + 3/2*sqrt(1/3)/sqrt((12*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(2/3) + 3*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 16)/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)) + 4/3/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) + 1/2) + 1/4, x == 1/4*sqrt(1/3)*sqrt((12*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(2/3) + 3*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 16)/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)) + 1/2*sqrt(-(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) + 3/2*sqrt(1/3)/sqrt((12*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(2/3) + 3*(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) - 16)/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3)) + 4/3/(1/18*sqrt(283)*sqrt(3) - 1/2)^(1/3) + 1/2) + 1/4]

Maintenant, une question : à quoi cela va-t-il te servir ?

Dernière modification par Michel Coste (14-02-2019 14:30:35)

Hors ligne

#3 14-02-2019 20:44:07

Pinot12
Invité

Re : Equation polynomiale de degré 4

Merci Michel.  :-)
Pour répondre à ta question :
J'essaye de voir si j'ai une chance de résoudre la fameuse équation : [tex]x^5 -x - 1 = 0[/tex] à l'aide de radicaux. Galois affirme que c'est impossible. Et moi, puisque je suis convaincu que Galois a tort , j'essaye de prouver le contraire. et en partant de cette équation, je suis arrivé dans un passage à l'équation : [tex]x^4 - x^3 -1 = 0[/tex], qu'il fallait résoudre, mais je me suis rendu compte à la fin que j'ai tout faux, et que ma méthode depuis le début est fausse. Dommage.

#4 14-02-2019 21:27:08

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 406

Re : Equation polynomiale de degré 4

Ta tentative était vouée à l'échec depuis le début. Ce n'est pas une question d'opinion, qui a tort ou qui a raison. L'impossibilité de la résolution par radicaux de l'équation générale du 5e degré est démontrée.

Hors ligne

#5 14-02-2019 21:54:16

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 683

Re : Equation polynomiale de degré 4

Bonsoir,

Effectivement, comme le dit à juste titre Michel, la théorie de Galois permet de montrer qu'il n'y a pas de "formule" permettant d'exprimer de manière générale les solutions d'une équation polynomiale de degré supérieur ou égal à 5.
Par contre, il existe bel et bien des équations de degré 5 qui sont résolubles par radicaux (à commencer par [tex]X^5=0[/tex]...).

Ma question est donc la suivante : sait-on si, pour le polynôme particulier dont parle Pinot12 : [tex]X^5-X-1[/tex], il n'existe pas de formule donnant les racines à l'aide de radicaux ?

Roro.

P.S. A mon avis, c'est peut être tout simplement contenu dans la théorie de Galois lorsqu'on calcule le groupe de Galois de ce polynôme - mais c'est un peu loin pour moi tout ça !

Dernière modification par Roro (14-02-2019 21:58:21)

Hors ligne

#6 15-02-2019 07:43:36

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 406

Re : Equation polynomiale de degré 4

Bonjour,

Avec Sage :
In:

R.<x>=QQ[]
(x^5-x-1).galois_group(pari_group=True)

Out:

PARI group [120, -1, 5, "S5"] of degree 5

Le groupe symétrique $S_5$ n'est pas résoluble.

Hors ligne

#7 15-02-2019 14:19:31

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 683

Re : Equation polynomiale de degré 4

Merci !

Roro.

Hors ligne

#8 12-03-2019 20:31:09

Pinot12
Invité

Re : Equation polynomiale de degré 4

Bonsoir,

Comment allez vous tous ?  :-)

Afin de réduire la robustesse des expressions des racines de l'équation : [tex]X^4 - X^3 - 1 = 0[/tex], on peut remarquer que les équations [tex]X^4 - X^3 - 1 = 0[/tex] et [tex] - X^4 + X + 1 = 0[/tex] ont meme homogénéisation [tex]X^4 - X^3 Y - Y^4 = 0[/tex]. D'où, à permutation de [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex] près, on peut déduire les racines de l'équation [tex] X^4 - X^3 - 1 = 0[/tex] à partir des racines de l'équation : [tex] - X^4 + X + 1 = 0[/tex]. Quelles sont alors, les racines de l'équation [tex]X^4 - X - 1 = 0[/tex] à l'aide de la méthode de Ferrari ?

Merci d'avance.

#9 12-03-2019 21:49:54

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 406

Re : Equation polynomiale de degré 4

Bonsoir,

Il faudrait déjà commencer par ne pas se mélanger les pinceaux : le polynôme réciproque de $X^4-X^3-1$, c'est $1-X-X^4$ et pas $1+X-X^4$. ;)

Hors ligne

#10 12-03-2019 22:00:57

Pinot12
Invité

Re : Equation polynomiale de degré 4

Oui, c'est vrai. Merci.  :-)
Tu peux me calculer les racines de ce polynôme que tu as obtenu par radicaux à l'aide d'un logiciel formel comme tu as fait au début ?
Merci infiniment.

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