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#1 08-01-2006 17:36:47
- Manu918
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difference symetrique
un pti coup de main ne serait pas de refus (merci d'avance) (vous n'etes bien sur pas obligé de toutes les faire) :
soit la difference symetrique de A et de B definie par : AΔB:= (A\B)U(B\A)
montrer les propriétés suivantes :
(i) la fonction caractéristique de AΔB est I(AΔB)= [I(A)-I(B)]² (les lettres mises entre parantheses designent ici les indices des fonctions caratérisiques)
(ii) AΔB=(AUB)\(AnB) pour tout couple (A,B)
(iii) An(BΔC)=(AnB)Δ(AnC) pour tout triplet (A,B,C)
(iv)AΔBbarre= (AΔB)barre pour tout couple (A,B) (j'ecris Bbarre barre pour dire que c'est tout sauf B puis (AΔB)barre pour dire que c'est tout sauf (AΔB), enfin vous voyez ce que je veux dire...)
enfin, montrer que AΔ(BΔC)= (AΔB)ΔC a l'aide des fonctions caratéristiques
Dernière modification par Manu918 (08-01-2006 17:37:35)
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#2 08-01-2006 21:44:02
- freeman
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Re : difference symetrique
i) vérifier pour x dans AinterB, puis dans A et pas dans B, puis ni dans A ni dans B.
ii) et au-delà: faire un dessin ?
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#3 08-01-2006 21:50:49
- Manu918
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Re : difference symetrique
je pense que pour les autres il vaut mieux montrer grace a des x et des y qui appartiennent ou pas aux ensembles, mais par cette méthode je n'arrive que trés peu souvent a me debrouiller, c'est surtout pour la methode et la logique de ce developpement que j'aurai voulu avoir un coup de main!
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#4 10-01-2006 05:24:46
- freeman
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Re : difference symetrique
On peut aussi se servir de relations plus basiques:
I(AinterB)=I(A)I(B) et I(Abarre)=1-I(A)
on en déduit I(A\B)=I(A)-I(A)I(B) et I(AUB)=1-(1-I(A))(1-I(B))=I(A)+I(B)-I(A)I(B)
Delà, I((AUB)\(AinterB))=I(AUB)-I(AUB)I(AinterB)=I(AUB).(1-I(A)I(B))= (I(A)+I(B)-I(A)I(B)).(1-I(A)I(B))= (en se servant de I²=I) =I(A)+I(B)-I(A)I(B)-I(A)I(B)-I(A)I(B)+I(A)I(B)= [I(A)-I(B)]² . Cela démontre le ii)
Bref, on peut algèbriser le raisonnement. Un dessin fait tout aussi bien l'affaire car les diagrammes de Venn constituent un modèle de la logique du premier ordre. Mais tu as raison d'insister, il faut aussi savoir mettre ses mains dans le cambouis. Essaye pour les autres!
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#5 10-01-2006 23:27:56
- Manu918
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Re : difference symetrique
merci freeman, cette m'a debloqué pas mal de chose et je pourrai peut etre faire le reste (mais dire si ce sera correct aprés...), en tout cas merci de prendre du temps pour m'aider.... a+
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