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#1 06-03-2019 10:08:59

fadounsilaurent
Membre
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détermination de la borne supérieure

Bonjour dans le forum !

Soit A={x€Q, x^3 <5}
Comment on détermine la borne supérieure de cet ensemble ? Merci d'avance

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#2 06-03-2019 13:14:32

Roro
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Re : détermination de la borne supérieure

Bonjour,

En montrant que c'est $\sqrt[3]{5}$...

Roro.

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#3 07-03-2019 12:59:12

D_john
Invité

Re : détermination de la borne supérieure

Salut,

... qui n'est pas dans Q. Donc...

#4 07-03-2019 16:14:52

dsb
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Re : détermination de la borne supérieure

bin oui et alors?

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#5 07-03-2019 23:08:12

freddy
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Re : détermination de la borne supérieure

dsb a écrit :

bin oui et alors?

Ben si, reprends la définition de la borne supérieure !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 08-03-2019 05:44:26

dsb
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Re : détermination de la borne supérieure

dsb a écrit :

bin oui et alors?

freddy a écrit :

Ben si, reprends la définition de la borne supérieure !

c'est marrant car "bin oui" veut dire "ben si"

(si j'ai dit "bin si" c'est parce que Roro a donné la bonne solution et c'était pas la peine d'en rajouter après)

Dernière modification par dsb (08-03-2019 06:01:50)

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#7 08-03-2019 08:48:48

D_john
Invité

Re : détermination de la borne supérieure

Salut,

... bin oui dsb, tu devrais revoir la définition de la borne supérieure.

#8 08-03-2019 09:04:29

dsb
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Re : détermination de la borne supérieure

Roro a donné la bonne réponse et je n'ai jamais dit le contraire

vous avez mal interprété mon propos qui pourtant était clair : bin oui == oui d'accord

en rajoutant "et alors" := vu que la bonne réponse a été donné par lui , il est donc inutile d'en rajouter

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#9 08-03-2019 09:50:53

yoshi
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Re : détermination de la borne supérieure

RE,

Bin non !

On travaille dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] !!!
D_John a attiré l'attention là-dessus.
[tex]A=\{x\in\mathbb{Q}, x^3 <5\}[/tex]. [tex]A\subset \mathbb{Q}[/tex]
La borne supérieure est le plus petit des majorants de A et [tex]\sup(A) \in \mathbb{Q}[/tex]
Vous êtes capables de trouver [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex] tels que [tex]\dfrac a b =\sup(A)[/tex] ?
Moi, pas...

Vérification (il faut toujours être prudent) :
https://www.math.u-psud.fr/~pansu/websm … rieure.pdf

@+


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#10 08-03-2019 10:22:38

freddy
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Re : détermination de la borne supérieure

Salut,

moi non plus, et le gars qui nous le demande, non plus.
Il y a sûrement une astuce pour le faire, mais laquelle ...


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#11 08-03-2019 10:52:43

dsb
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Re : détermination de la borne supérieure

ma définition est celle-ci (alors à moins que ma définition ne soit pas bonne )

Soit F  une partie de Q 

on dit que x dans R est un majorant de F si pour tout élément y de F on a  [tex]y\leq x[/tex]

(donc ici ce majorant x n'est pas forcément un élément de F on ne lui demande pas cela à lui)

la borne supérieure de F c'est le plus petit des majorants de F

donc ce plus petit des majorants de F n'est pas forcément un élément de F

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#12 08-03-2019 11:04:44

freddy
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Re : détermination de la borne supérieure

Re,

bien sûr, ici $F=A$ qui est une partie de $\mathbb{Q}$. On ne demande pas à la borne sup d'être dans $A$, mais dans $ \mathbb{Q}$.
Si maintenant, on précise que $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, la solution de Roro convient.


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#13 08-03-2019 11:09:03

dsb
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Re : détermination de la borne supérieure

pardon je lis le post initial et à aucun moment il est demandé que cette borne soit dans A

je cite "Comment on détermine la borne supérieure de cet ensemble ? "

on demande juste qu'elle est la borne supérieure de A mais jamais il est demandé de trouver cette borne dans A

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#14 08-03-2019 11:13:52

freddy
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Re : détermination de la borne supérieure

Re,

en lisant le lien HTML donné par yoshi, on a la réponse : $A$ n'admet pas de borne supérieure, nous cherchions pour rien.
Bien entendu, il faut le démontrer (faire une démonstration par l'absurde ...).
Je pense que le gars qui nous a posé la question n'a pas bien écouté son prof quand ce dernier a dû lui en a parler :-) !!!


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#15 08-03-2019 11:15:35

freddy
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Re : détermination de la borne supérieure

dsb a écrit :

pardon je lis le post initial et à aucun moment il est demandé que cette borne soit dans A

je cite "Comment on détermine la borne supérieure de cet ensemble ? "

on demande juste qu'elle est la borne supérieure de A mais jamais il est demandé de trouver cette borne dans A

Par définition, la borne sup n'est pas dans $A$, sinon, ce serait le plus grand élément = le max !


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#16 08-03-2019 11:19:29

dsb
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Re : détermination de la borne supérieure

justement ça tombe bien la borne supérieure de A n'est pas dans A puisque sa borne supérieure est donnée par Roro (et n'est pas un rationnel  )

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#17 08-03-2019 11:28:11

freddy
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Re : détermination de la borne supérieure

dsb a écrit :

justement ça tombe bien la borne supérieure de A n'est pas dans A puisque sa borne supérieure est donnée par Roro (et n'est pas un rationnel  )

Non, la réponse de Roro est fausse, prends le temps de relire ce qui a été écrit.
C'est un sujet subtil, faut bien tout regarder et surtout, lire toutes les définitions.


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#18 08-03-2019 12:25:18

yoshi
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Re : détermination de la borne supérieure

@dsb
Le lien que j'ai mis, l'as-tu suivi ? J'en doute...
Extrait qui nous intéresse :
3.2  Borne supérieure
Définition 10
Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre notée $\leqslant$.  Soit A⊂ E. Un élément $y\in E$ est appelé borne supérieure de A, noté $y= $\sup A$, si
- y est un majorant de A,
– y est le plus petit des majorants de A.

Clairement, si la borne supérieure de A existe, elle est unique
..................
Exemple 13
Dans la liste de l’exemple 6, A ne possède pas de borne supérieure.
Par l’absurde.
Supposons que A possède une borne supérieure [tex]y \in \mathbb{Q}[/tex]. Comme A ne possède pas de plus grand élément, $y^2>2$. Il existe un entier n tel que $y^2−2>10^{−n}$
On pose[tex] z=y−10^{−n−1}[/tex]. On remarque que [tex]y <2[/tex].
Si $x\geqslant z,\, x^2\geqslant z^2=y^2−2y.10^{−n−1}+ 10^{−2n−2}> y^2−2y.10^{−n−1}> y^2−4.10^{−n−1}> y^2−10^{−n}>2$.
Par conséquent, tout $x\in A$ est< z.
Donc z est un majorant de A, et z < y, contradiction.
On conclut que A n’a pas de borne supérieure.
L'exemple 6 était le suivant :

Exemple 6
Soit, dans $\mathbb Q,\,A=\{x \in \mathbb Q,\, x^2\leqslant 2\}$.

@+


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#19 08-03-2019 13:14:03

dsb
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Re : détermination de la borne supérieure

freddy a écrit :

Si maintenant, on précise que $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, la solution de Roro convient.

c'est comme cela que je l'entendais son énoncé 

edit : pourquoi lui demanderai t-on de trouver quelque chose impossible à trouver ?

Ce n'est pas la première fois qu'on voit un énoncé  mal recopié

___________________

Soit A={x€Q, x^3 <5} une partie de R

déterminer la borne supérieure de A

et voilà !

Dernière modification par dsb (08-03-2019 13:24:17)

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#20 08-03-2019 14:06:16

yoshi
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Re : détermination de la borne supérieure

Salut,

Pour l'instant, ne varietur...
Vous interprétez cette phrase :

Comment on détermine la borne supérieure de cet ensemble ?

qui pour moi, ce n'est qu'une réécriture de la question d'origine que j'aimerais voir, avant de changer éventuellement d'avis.

@fadounsilaurent. Peux-tu donner l'énoncé exact de l'exercice, sans même y changer une virgule, s'il te plaît ?  si une réponse t'intéresse toujours, bien sûr....

@+


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#21 08-03-2019 14:16:27

freddy
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Re : détermination de la borne supérieure

dsb a écrit :
freddy a écrit :

Si maintenant, on précise que $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, la solution de Roro convient.

c'est comme cela que je l'entendais son énoncé 

edit : pourquoi lui demanderai t-on de trouver quelque chose impossible à trouver ?

Ce n'est pas la première fois qu'on voit un énoncé  mal recopié

___________________

Soit A={x€Q, x^3 <5} une partie de R

déterminer la borne supérieure de A

et voilà !

Salut,

justement, on lui a posé ce sujet pour voir s'il a bien compris le cours. En pédagogie, ce procédé est assez courant, pour s'assurer qu'une notion est bien comprise, pas seulement apprise !

Selon moi, il n'y a aucune erreur d'énoncé qui dit clairement :

Soit $A=\{x \in \mathbb{Q}, x^3 \lt 5\}$. Quelle est la borne supérieure de $A$ ?


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#22 08-03-2019 14:24:26

dsb
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Re : détermination de la borne supérieure

freddy a écrit :

  justement, on lui a posé ce sujet pour voir s'il a bien compris le cours. En pédagogie, ce procédé est assez courant, pour s'assurer qu'une notion est bien comprise, pas seulement apprise !

C'est la première fois que je vois ça

eh bien bon courage à vous!

bon courage (deux fois)

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#23 08-03-2019 15:22:19

Roro
Membre expert
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Re : détermination de la borne supérieure

Bonjour,

Puisque Freddy a dit que ma réponse était fausse, je précise :

J'ai volontairement arrêté ma réponse en disant que c'était $\sqrt[3]{5}$ avec "..." sous-entendant que cette borne supérieure n'était pas rationnelle. Je pensais que l'intéressé réagirait de lui-même.

Alors je lui aurais dit :

   Ton énoncé n'est pas suffisamment précis : cherches-tu la borne supérieure dans $\mathbb R$ ou dans $\mathbb Q$ ?
   Dans le premier cas, c'est effectivement $\sqrt[3]{5}$.
   Dans le second cas, tu montres par l'absurde que la borne supérieure n'existe pas.

Roro.

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