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#1 06-03-2019 10:08:59
- fadounsilaurent
- Membre
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détermination de la borne supérieure
Bonjour dans le forum !
Soit A={x€Q, x^3 <5}
Comment on détermine la borne supérieure de cet ensemble ? Merci d'avance
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#2 06-03-2019 13:14:32
- Roro
- Membre expert
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Re : détermination de la borne supérieure
Bonjour,
En montrant que c'est $\sqrt[3]{5}$...
Roro.
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#3 07-03-2019 12:59:12
- D_john
- Invité
Re : détermination de la borne supérieure
Salut,
... qui n'est pas dans Q. Donc...
#4 07-03-2019 16:14:52
- dsb
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- Inscription : 02-02-2019
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Re : détermination de la borne supérieure
bin oui et alors?
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#5 07-03-2019 23:08:12
- freddy
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Re : détermination de la borne supérieure
bin oui et alors?
Ben si, reprends la définition de la borne supérieure !
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#6 08-03-2019 05:44:26
- dsb
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Re : détermination de la borne supérieure
bin oui et alors?
Ben si, reprends la définition de la borne supérieure !
c'est marrant car "bin oui" veut dire "ben si"
(si j'ai dit "bin si" c'est parce que Roro a donné la bonne solution et c'était pas la peine d'en rajouter après)
Dernière modification par dsb (08-03-2019 06:01:50)
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#7 08-03-2019 08:48:48
- D_john
- Invité
Re : détermination de la borne supérieure
Salut,
... bin oui dsb, tu devrais revoir la définition de la borne supérieure.
#8 08-03-2019 09:04:29
- dsb
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Re : détermination de la borne supérieure
Roro a donné la bonne réponse et je n'ai jamais dit le contraire
vous avez mal interprété mon propos qui pourtant était clair : bin oui == oui d'accord
en rajoutant "et alors" := vu que la bonne réponse a été donné par lui , il est donc inutile d'en rajouter
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#9 08-03-2019 09:50:53
- yoshi
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Re : détermination de la borne supérieure
RE,
Bin non !
On travaille dans [tex]\mathbb{Q}[/tex] !!!
D_John a attiré l'attention là-dessus.
[tex]A=\{x\in\mathbb{Q}, x^3 <5\}[/tex]. [tex]A\subset \mathbb{Q}[/tex]
La borne supérieure est le plus petit des majorants de A et [tex]\sup(A) \in \mathbb{Q}[/tex]
Vous êtes capables de trouver [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex] tels que [tex]\dfrac a b =\sup(A)[/tex] ?
Moi, pas...
Vérification (il faut toujours être prudent) :
https://www.math.u-psud.fr/~pansu/websm … rieure.pdf
@+
Arx Tarpeia Capitoli proxima...
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#10 08-03-2019 10:22:38
- freddy
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Re : détermination de la borne supérieure
Salut,
moi non plus, et le gars qui nous le demande, non plus.
Il y a sûrement une astuce pour le faire, mais laquelle ...
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#11 08-03-2019 10:52:43
- dsb
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Re : détermination de la borne supérieure
ma définition est celle-ci (alors à moins que ma définition ne soit pas bonne )
Soit F une partie de Q
on dit que x dans R est un majorant de F si pour tout élément y de F on a [tex]y\leq x[/tex]
(donc ici ce majorant x n'est pas forcément un élément de F on ne lui demande pas cela à lui)
la borne supérieure de F c'est le plus petit des majorants de F
donc ce plus petit des majorants de F n'est pas forcément un élément de F
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#12 08-03-2019 11:04:44
- freddy
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Re : détermination de la borne supérieure
Re,
bien sûr, ici $F=A$ qui est une partie de $\mathbb{Q}$. On ne demande pas à la borne sup d'être dans $A$, mais dans $ \mathbb{Q}$.
Si maintenant, on précise que $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, la solution de Roro convient.
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#13 08-03-2019 11:09:03
- dsb
- Banni(e)
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Re : détermination de la borne supérieure
pardon je lis le post initial et à aucun moment il est demandé que cette borne soit dans A
je cite "Comment on détermine la borne supérieure de cet ensemble ? "
on demande juste qu'elle est la borne supérieure de A mais jamais il est demandé de trouver cette borne dans A
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#14 08-03-2019 11:13:52
- freddy
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Re : détermination de la borne supérieure
Re,
en lisant le lien HTML donné par yoshi, on a la réponse : $A$ n'admet pas de borne supérieure, nous cherchions pour rien.
Bien entendu, il faut le démontrer (faire une démonstration par l'absurde ...).
Je pense que le gars qui nous a posé la question n'a pas bien écouté son prof quand ce dernier a dû lui en a parler :-) !!!
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#15 08-03-2019 11:15:35
- freddy
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Re : détermination de la borne supérieure
pardon je lis le post initial et à aucun moment il est demandé que cette borne soit dans A
je cite "Comment on détermine la borne supérieure de cet ensemble ? "
on demande juste qu'elle est la borne supérieure de A mais jamais il est demandé de trouver cette borne dans A
Par définition, la borne sup n'est pas dans $A$, sinon, ce serait le plus grand élément = le max !
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#16 08-03-2019 11:19:29
- dsb
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Re : détermination de la borne supérieure
justement ça tombe bien la borne supérieure de A n'est pas dans A puisque sa borne supérieure est donnée par Roro (et n'est pas un rationnel )
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#17 08-03-2019 11:28:11
- freddy
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Re : détermination de la borne supérieure
justement ça tombe bien la borne supérieure de A n'est pas dans A puisque sa borne supérieure est donnée par Roro (et n'est pas un rationnel )
Non, la réponse de Roro est fausse, prends le temps de relire ce qui a été écrit.
C'est un sujet subtil, faut bien tout regarder et surtout, lire toutes les définitions.
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#18 08-03-2019 12:25:18
- yoshi
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Re : détermination de la borne supérieure
@dsb
Le lien que j'ai mis, l'as-tu suivi ? J'en doute...
Extrait qui nous intéresse :
3.2 Borne supérieure
Définition 10
Soit E un ensemble muni d’une relation d’ordre notée $\leqslant$. Soit A⊂ E. Un élément $y\in E$ est appelé borne supérieure de A, noté $y= $\sup A$, si
- y est un majorant de A,
– y est le plus petit des majorants de A.
Clairement, si la borne supérieure de A existe, elle est unique
..................
Exemple 13
Dans la liste de l’exemple 6, A ne possède pas de borne supérieure.
Par l’absurde.
Supposons que A possède une borne supérieure [tex]y \in \mathbb{Q}[/tex]. Comme A ne possède pas de plus grand élément, $y^2>2$. Il existe un entier n tel que $y^2−2>10^{−n}$
On pose[tex] z=y−10^{−n−1}[/tex]. On remarque que [tex]y <2[/tex].
Si $x\geqslant z,\, x^2\geqslant z^2=y^2−2y.10^{−n−1}+ 10^{−2n−2}> y^2−2y.10^{−n−1}> y^2−4.10^{−n−1}> y^2−10^{−n}>2$.
Par conséquent, tout $x\in A$ est< z.
Donc z est un majorant de A, et z < y, contradiction.
On conclut que A n’a pas de borne supérieure.
L'exemple 6 était le suivant :
Exemple 6
Soit, dans $\mathbb Q,\,A=\{x \in \mathbb Q,\, x^2\leqslant 2\}$.
@+
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#19 08-03-2019 13:14:03
- dsb
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Re : détermination de la borne supérieure
Si maintenant, on précise que $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, la solution de Roro convient.
c'est comme cela que je l'entendais son énoncé
edit : pourquoi lui demanderai t-on de trouver quelque chose impossible à trouver ?
Ce n'est pas la première fois qu'on voit un énoncé mal recopié
___________________
Soit A={x€Q, x^3 <5} une partie de R
déterminer la borne supérieure de A
et voilà !
Dernière modification par dsb (08-03-2019 13:24:17)
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#20 08-03-2019 14:06:16
- yoshi
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Re : détermination de la borne supérieure
Salut,
Pour l'instant, ne varietur...
Vous interprétez cette phrase :
Comment on détermine la borne supérieure de cet ensemble ?
qui pour moi, ce n'est qu'une réécriture de la question d'origine que j'aimerais voir, avant de changer éventuellement d'avis.
@fadounsilaurent. Peux-tu donner l'énoncé exact de l'exercice, sans même y changer une virgule, s'il te plaît ? si une réponse t'intéresse toujours, bien sûr....
@+
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#21 08-03-2019 14:16:27
- freddy
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Re : détermination de la borne supérieure
freddy a écrit :Si maintenant, on précise que $A$ est une partie de $\mathbb{R}$, la solution de Roro convient.
c'est comme cela que je l'entendais son énoncé
edit : pourquoi lui demanderai t-on de trouver quelque chose impossible à trouver ?
Ce n'est pas la première fois qu'on voit un énoncé mal recopié
___________________
Soit A={x€Q, x^3 <5} une partie de R
déterminer la borne supérieure de A
et voilà !
Salut,
justement, on lui a posé ce sujet pour voir s'il a bien compris le cours. En pédagogie, ce procédé est assez courant, pour s'assurer qu'une notion est bien comprise, pas seulement apprise !
Selon moi, il n'y a aucune erreur d'énoncé qui dit clairement :
Soit $A=\{x \in \mathbb{Q}, x^3 \lt 5\}$. Quelle est la borne supérieure de $A$ ?
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#22 08-03-2019 14:24:26
- dsb
- Banni(e)
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Re : détermination de la borne supérieure
justement, on lui a posé ce sujet pour voir s'il a bien compris le cours. En pédagogie, ce procédé est assez courant, pour s'assurer qu'une notion est bien comprise, pas seulement apprise !
C'est la première fois que je vois ça
eh bien bon courage à vous!
bon courage (deux fois)
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#23 08-03-2019 15:22:19
- Roro
- Membre expert
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Re : détermination de la borne supérieure
Bonjour,
Puisque Freddy a dit que ma réponse était fausse, je précise :
J'ai volontairement arrêté ma réponse en disant que c'était $\sqrt[3]{5}$ avec "..." sous-entendant que cette borne supérieure n'était pas rationnelle. Je pensais que l'intéressé réagirait de lui-même.
Alors je lui aurais dit :
Ton énoncé n'est pas suffisamment précis : cherches-tu la borne supérieure dans $\mathbb R$ ou dans $\mathbb Q$ ?
Dans le premier cas, c'est effectivement $\sqrt[3]{5}$.
Dans le second cas, tu montres par l'absurde que la borne supérieure n'existe pas.
Roro.
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