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#1 19-02-2019 08:16:44

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

pb de Cauchy

Bonjour
on a le problème de Cauchy suivant: $y'= |y|^{\alpha}, y(x_0)=y_0$, où $0 < \alpha < 1$. Comment étudier l'existence et l'unicité de ce problème?
Tout d'abord on pose $f(x,y)=|y|^{\alpha}$ qui est définie sur $[0,+\infty[$. On pense à voir tout d'abord si $f$ est Lipschitsz par rapport à $y$. Pour ça j'ai pensé à voir si $\dfrac{\partial d}{\partial y}$ est bornée car si elle n'est pas bornée, cela implique qu'elle n'est pas localement lipschitzienne par rapport à $y$.
Dans le calcul de $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ ça vaut $\alpha y^{\alpha-1}$ si $y>0$ et $\alpha (-y)^{\alpha-1}$ si $y < 0$. Donc $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ n'est pas bornée au voisinage de 0 elle n'est donc pas localement Lipschistz.
Reste à voit si $f$ est décroissante pour pouvoir appliquer le résultat de Peano.Mais on voit que $f$ est croissante car $\dfrac{\partial f}{\partial y} > 0$. Ce qui veut dire qu'il faut calculer à la main les solutions:
$y=0$ est une solution. Pour calculer les autres solutions positives il suffit d'écrire la formule explicite
$$
\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{s^{\alpha}} ds = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} ds.
$$
Ce calcul ne me donne rien de bon car on intègre sur $\mathbb{R}$ tout entier. Que faire?

Cordialement

Dernière modification par ccapucine (19-02-2019 16:43:57)

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#2 19-02-2019 09:19:01

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : pb de Cauchy

Bonjour Capucine,

Pourquoi intègres-tu sur $\mathbb R$ ?

Roro.

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#3 19-02-2019 16:46:38

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Re : pb de Cauchy

Bonjour
tout d'abord j'ai oublié de préciser que $0 < \alpha < 1$. Je viens de l'aouter à mon premier post.
Sur quoi on intègre alors?

Bien cordialement

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#4 19-02-2019 17:54:35

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : pb de Cauchy

Bonjour
J'ai 2 remarques à faire, qui expliquent que c'est difficile pour moi de répondre pour le moment:
A priori tu veux discuter pour tout [tex]x_0[/tex]?
Maintenant si on commence à lire, ce que tu écris, ça va pas :   
En effet tu dis [tex]f(x,y)=|y|^a[/tex]  qui est définie sur [tex][0,+\infty).[/tex] Tu es certaine de cela?
J'ai l'impression que tu veux appliquer un th de base mais pour cela, il faut être précis sur l'énoncé et l'application du th.

Dernière modification par aviateur (19-02-2019 17:58:19)

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#5 19-02-2019 18:15:43

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : pb de Cauchy

Bonsoir,

Je suis d'accord avec Aviateur : tes posts manquent cruellement de précision, et sans précision on ne peut pas faire grand chose pour toi : étape 1 : faire un effort pour ne pas écrire des choses qui n'ont pas de sens comme la phrase reprise par Aviateur !

Si on oublie momentanément ce point, je répond à ton post #3 par une question : pourquoi intègres-tu ???

J'ai comme l'impression que tu fais n'importe quoi, tu as entendu qu'il "fallait" intégrer alors tu intègres, mais tu ne sais pas pourquoi ?

Roro.

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#6 19-02-2019 22:44:39

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 178

Re : pb de Cauchy

Je ne comprends pas pourquoi ma question n'a aucun sens. La question est: étudier l'existence et l'unicité du problème de Cauchy
$$
y'= |y|^{\alpha}, y(x_0)= y_0,
$$
avec $0 < \alpha < 1$.
Pour le calcul de la solution, comme il s'agit d'une edo non linéaire à variables séparée, on écrit la forme explicite qui est donnée ici par
$$
\dfrac{1}{|y|^{\alpha}}= 1
$$
et donc
$$
\displaystyle\int_{y_0}^y \dfrac{1}{|s|^{\alpha}} ds= \displaystyle\int_{x_0}^x ds.
$$
J'avais en effet fait une erreur d'intégration mais il faut bien intégrer!

Bien cordialement

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#7 19-02-2019 23:27:54

Roro
Membre expert
Inscription : 07-10-2007
Messages : 1 552

Re : pb de Cauchy

Bonsoir,

ccapucine a écrit :

Je ne comprends pas pourquoi ma question n'a aucun sens.

Ce n'est pas la question qui n'a aucun sens, mais certaines de tes phrases !

Aviateur évoquait cette phrase : "$f(x,y)=|y|^\alpha$ qui est définie sur $[0,+\infty[$". Vois-tu au moins où est l'erreur ?

Autre exemple dans ton dernier message :

ccapucine a écrit :

on écrit la forme explicite qui est donnée ici par
$$
\dfrac{1}{|y|^{\alpha}}= 1
$$

Vois-tu que cette équation n'a pas grand chose à voir avec la question initiale ?

Tant que tu n'écriras pas les choses de façon exacte, on ne pourra pas avancer !

J'imagine que tu voulais écrire : pour tout $t$ tel que $y(t)\neq 0$,
$$
\dfrac{y'(t)}{|y(t)|^{\alpha}}= 1
$$
Ensuite tu peux effectivement intégrer cette relation pour $t\in [x_0,x]$. Et c'est intéressant car tu connais une primitive de $\dfrac{y'}{|y|^{\alpha}}$.

Roro.

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#8 20-02-2019 08:31:26

ccapucine
Membre
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Messages : 178

Re : pb de Cauchy

Bonjour
$f(x,y)=|y|^{\alpha}$ où $0 < \alpha < 1$ est définie sur $\mathbb{R}$ et pas sur $[0,+\infty[$ puisqu'il y a la valeur absolue. Non?

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#9 20-02-2019 13:19:18

aviateur
Membre
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Messages : 189

Re : pb de Cauchy

Bonjour
Je suis d'accord avec les remarques de @Roro.
Non la fonction f(x,y)  est définie sur [tex]R\times R.[/tex] Mais ensuite?
Personnellement, j'en suis même pas à l'intégrale, j'en suis encore au début à me demander ce que tu as voulu dire.

Dernière modification par aviateur (20-02-2019 13:25:38)

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