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#1 18-02-2019 16:15:18

mati
Membre
Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Convolution

Bonjour
1. Si $A \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ et $w \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}^n)$ alors où appartient $A*w$? dans $\mathcal{D}$ ou bien dans $\mathcal{E}$?
2. J'ai le théorème suivant: soit $A \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$. On suppose que $w$ est une solution fondamentale de $A$. Alors:
a- pour tout $f \in \mathcal{E}'$, il existe $u \in \mathcal{D}'$ telle que $A*u =f$, c'est à dire que $u=w * f$.
b- soit $f \in \mathcal{E}'$. S'il existe $u \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ solution de $A*u=f$ alors il est unique et on a $u=w * f$.

Pour la preuve de a, j'ai ceci: soit $f \in \mathcal{E}'$ et soit $w \in \mathcal{D}'$ une solution fondamentale, et on montre que $u = w*f$. Puisque $Supp f$ et $Supp A$ sont compacts, alors $Supp f$ et $Supp A$ et $Supp w$ sont convolutifs. Donc on a la propriété d'associativité:
$$
A*(w*f)=(A*w)*f=\delta * f=f.
$$
donc $u=w*f$ est solution.
Je n'ai pas de problème avec cette démonstration.

Pour la preuve de b j'ai ceci: soit $f \in \mathcal{E}'(\mathbb{R}^n)$ et soit $u$ une solution de $A*u=f$ tel que $u \in \mathcal{E}'$. $w$ est une solution fondamentale de $A$ veut dire que $A*w=\delta$. Donc
$$
u= \delta * u= (w*A)*u=w*(A*u)= w*f.
$$

Je ne vois pas dans la preuve de b où est l'unicité. C'est quoi la différence entre le point a où $u \in \mathcal{D}'$ et le point b où $u \in \mathcal{E}'$? Pourquoi il faut que $u$ soit dans $\mathcal{E}'$ pour avoir unicité?

Cordialement

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