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#1 22-12-2018 10:40:10

Dattier
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[Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Salut,

Le raisonnement mathématique est un raisonnement, qui dit que la seule chose que l'on a le droit de faire c'est de recopier une hypothése, si on change même d'une moindre virgule l'hypothése, il faut pouvoir le justifier, avec un résultat de cours ou par une tradition qu'a laissé le prof.

Cordialement.

Dernière modification par Dattier (22-12-2018 11:54:02)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#2 22-12-2018 10:50:39

Michel Coste
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Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Bonjour,

Du vent, rien que du vent (comme d'habitude, quand Dattier met ses habits de clown).
Tu ferais mieux de te cantonner à répondre sérieusement aux questions de mathématiques, et de réserver tes billevesées à ton site.

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#3 22-12-2018 11:51:39

Dattier
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Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Non, je vous assure que tel est le raisonnement mathématique, ne faites pas attention au parasitage intentionnel de M.Coste.
Il s'est donné la mission de protéger je ne sais quoi, de moi, comme vous pouvez le voir sur ce site, où partout où j'intervients, il explique que ce que je dis est du vent, si tel était le cas, ce serait la preuve que M.Coste aime brasser de l'air.

Dernière modification par Dattier (22-12-2018 11:57:05)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#4 23-12-2018 21:30:33

Dattier
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Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Bonsoir,

Voilà des exemples de traditions que peut laisser ton prof de maths :

-que l'on peut déduire de A=B que B=A sans avoir vu, que l'égalité est une relation d'ordre.

-que l'on peut déduire de (A et B) que (B et A) sans avoir vu, que l'opération "et" logique est commutative.

-que l'on peut déduire de [tex]\forall x, A(x)[/tex] que [tex]\forall y, A(y)[/tex].

-que l'on peut déduire de (A=B) et (C=D) que (f(A,C)=f(A,D)=f(B,C)=f(B,D)), sans avoir vu l'axiome de l'identité....

-que l'on se sert de lettre de l'aphabet latin ou grecque pour signifier des variables,

-qu'il y a des symboles exclusifs, comme 1, dont on ne peut signifier avec que l'élément neutre de la multiplication, on ne peut signifier avec une variable par exemple ou autre chose...

-éviter d'utiliser un même symbôle pour signifier 2 choses diffèrentes.

...


Plus d'autres choses qui peuvent être spécifique d'un prof à l'autre, comme comment présenter un raisonnement par récurrence...

Dernière modification par Dattier (23-12-2018 21:31:02)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#5 23-12-2018 21:35:34

Dattier
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Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Les extrêmistes logisistes, te diront qu'en matière de maths (ou logique) il n'y a pas de place pour le moindre implicite*, c'est absolument faux.

Par exemple, un des implicites parmis les possible, on suppose que son auditoire comprend la langue avec laquelle on s'adresse à lui.

* : c'est pour ça que le terme de tradition mathématique, les agacent au plus haut point.

Dernière modification par Dattier (23-12-2018 21:37:01)


Raisonnement Exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

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#6 15-02-2019 10:04:24

sandraneko
Invité

Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Bonjour, je me permets de vous poser une question sur l'apprentissage au primaire des mathématiques, qui me semble avoir un rapport avec le raisonnement mathématique, je suis ouverte à la discussion, mais j'aimerais des explications surtout.
Je suis élevé de primaire en 1994, j'apprends les soustractions à retenues et je les pose (ex: 245-178), mais je note la retenue qu'en dessous de l'unité suivante (ex: 245-17(retenue sous le 7)8). Je sais car j'ai appris, que ma retenue correspond à l'image d'un "15-8".
Aujourd'hui élève de ce2 j'écris ma retenue 2 fois, la première entre le 4 et 5 de 245, pour écrire le fameux 15-8, la deuxième sous le 7.
Le professeur de 2018 pense et dit : la méthode de 1994 n'est pas mathématique, on change le nombre et si on le modifie il n'y a plus aucune cohérence, plus de sens mathématique et même si l'élève sait qu'il fait 15-8, et que le résultat est bon, ce n'est qu'une logique de calcul, mais il ne sait pas pourquoi il fait la soustraction et agit comme un robot et n'a aucune idée du sens mathématique. Alors que l'élève de ce2 d'aujourd'hui en écrivant 2 fois la retenue, connaît le sens des mathématique et l'utilité de la soustraction.
Mes questions : Qu'en pensez vous ? Peut-on apprendre le sens mathématique en primaire, sans au bout du compte apprendre des logiques de calculs ? Apprendre des logiques de calculs signifie-t-il que l'on ne connait pas le sens mathématique des méthodes apprises ?

#7 15-02-2019 13:35:18

yoshi
Modo Ferox
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Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Bonjour,


Je suis élevé de primaire en 1994, j'apprends les soustractions à retenues et je les pose (ex: 245-178), mais je note la retenue qu'en dessous de l'unité suivante

Tu es sure de ça ?
Aussi loin que remontent mes souvenirs de prof débutant, et d'élève de primaire (1953 - 1959) je ne me souviens pas de n'avoir écrit la retenue qu'une fois...

Alors que l'élève de ce2 d'aujourd'hui en écrivant 2 fois la retenue, connaît le sens des mathématique et l'utilité de la soustraction.

Qu'est-ce que tu entends par sens des mathématiques ?  par utilité de la soustraction ?
Moi, je ne distingue à ce niveau CE2 que la technique opératoire et le sens de l'addition, la soustraction et la multiplication (i.e. savoir, face à une situation concrète simple,  laquelle de ces opérations il faut choisir et ça se poursuivra au moins jusqu'en 6e avec la division en prime)
Le plus difficile étant l'acquisition du "sens des opérations"...
Maintenant, la technique maîtrisée, c'est bien,  mais est ce que ça induit que l'enfant saura pourquoi, il le fait ?
Poser une question, c'est déjà y répondre dit-on... Moi, je réponds non !
C'est comme en Géométrie avec la connaissance des théorèmes, condition nécessaire mais non suffisante (et de loin) à la résolution des problèmes...
Es-tu sure que l'enfant saura te dire et te justifier que 245-178 = 255 -188. Non...
Et dessous se cachent pême-mêle, les notions de numération de position et à base dix...
Que dire alors ultérieurement des calculs sur les nombres dits "complexes" (h min s) ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#8 15-02-2019 14:59:01

sandraneko
Invité

Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Désolée pour la faute de correction auto "élevé", à la place d'élève. Je n'avais pas l'option pour modifier mon message.

Je dois dire que je n'ai plus de contact avec mes anciens camarades et même si je suis certaine d'avoir appris comme ça, ma mémoire n'est pas parfaite. Mais je me souviens avoir toujours fait de cette manière. Et je ne me souviens pas que l'on m'ait appris pour quelque opération que ce soit, d'écrire 2 fois la retenue. Pour les multiplications l'écrire une fois à droite et barrer une fois comptée, pour les additions, écrire une fois au dessus, les soustractions écrire une fois en dessous et barrer une fois comptée. Partout, de la primaire au collège j'ai toujours appliqué la même méthode et jamais un professeur ne m'a reprise, ben au pourtant en beaucoup et je suis tellement timide et sensible que si on m'avait reprise je m'en souviendrais ça c'est certain.

Je ne sais pas trop ce que j'entends par "sens des mathématiques" ou "sens mathématique". En fait pour ça, je répète bêtement ce que m'a dit ce professeur pour les élèves d'aujourd'hui. Je pense avoir compris qu'il parlait de "à quoi servent les mathématiques au final" est ce seulement du simple calcul, une simple soustraction de nombres ou bien la volonté de trouver un résultats abstrait ou concret en utilisant des nombres que l'on va utiliser comme des outils. Il avait l'air de parler de quelque chose de plus grand comme les mathématiques en tant qu'éléments de la vie,... j'espère me faite comprendre.
Mais dans sa discussion, il parlait aussi de l'utilité simple d'une soustraction, trouver un nombre demandé en en soustrayant deux autres, et de savoir expliquer pourquoi on utilise la soustraction dans un problème. Sans aller plus loin dans des explications de sa pensée.
A part répéter que la première méthode écrite était une aberration mathématiques et que les personnes qui l'utilisent font ça bêtement sans connaître le sens mathématique. (Tout en me rassurant "non, mais pas toi hein, c'est pas pareil"). Pourtant, impossible de lui faire m'expliquer comment il faisait pour apprendre le sens mathématique sans apprendre de "logique de calcul" (peut on aussi parler de "méthode"?) en ce2. Et ça, ça m'interroge.

#9 15-02-2019 15:54:50

sandraneko
Invité

Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

http://primaths.fr/outils%20cycle%202/t … quesd.html

Sur ce lien, 3 méthodes sont décrites et en fait la méthode que j'utilise serait la troisième, qui vient en fait d'une "addition à trou". Donc cette methode, sans aller jusqu'au sens mathématique, ne serait pas une aberration, même si elle n'est peut être pas non plus la plus facile ou logique, aux yeux de tout le monde, à apprende en ce2.

#10 15-02-2019 19:05:18

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 947

Re : [Pour les débutants] : qu'est-ce que le raisonnement mathématique ?

Re,

J'ai suivi ton lien...
Quelques remarques.

Son sens est difficile à acquérir, du moins si l'on est exigeant : la soustraction a - b ne permet pas seulement de trouver ce qui reste quand on enlève b à a, mais aussi ce qu'il faut ajouter à b pour obtenir a.

Le "mais aussi" me dérange... J'aurais écrit  "qui n'est rien d'autre que"...
Une définition qu'on donne plus tard : La différence de deux nombres a et b, notée a - b,  est le nombre c tel que a = b + c.
Tu as sûrement vu ces cahiers de brouillon bon marché, au dos desquels figurent des tables de soustraction et de division ?
Bon, ils tendent à disparaître, heureusement parce que ça me fait toujours bondir :
* Pour effectuer une soustraction, il est nécessaire de se servir et de connaître (autant que possible) par cœur ses tables d'addition,
* Pour effectuer une division, il est nécessaire de se servir et de connaître (autant que possible) par cœur ses tables de multiplication.
   Le quotient exact de deux nombres a et b, noté $\frac a b$ (notation dont on peut se passer à petit niveau), est le nombre c tel que a = b x c . Comment sinon expliquer que diviser 2 par 0 est impossible ?
Les tables de soustraction et de division sont un non-sens, ça n'existe pas...

Si certains veulent additionner à 7 tous les nombres de 0 à 6 avant d'arriver à 7 qui donne le résultat cherché terminé par 4, pourquoi pas ? Il vaut mieux perdre un peu de temps que de ne pas y arriver.
En outre, sans ce cas il sera instructif de leur faire remarquer que s'ils savaient leurs tables par cœur, ils iraient bien plus vite...
Quant à la première méthode de soustraction, je n'ai pas compris qu'elle était une hérésie, seulement que la deuxième version présentée de cette première méthode en était une et je suis d'accord avec ça.
Ce professeur a oublié (ou n'a jamais vu) la 3e variante qui consiste a mettre la retenue ni à gauche du chiffre, ni à sa droite avec un + (je n'ai jamais rencontré cette présentation), mais pile en dessous dudit chiffre entre lui et la barre d'opération...
Alors dans l'addition, la retenue est au dessus histoire de ne pas brouiller la présentation : dans le cas de cette 3e variante, la retenue est entre le chiffre et la barre de soustraction, pour ne pas risquer de confusion. C'est celle que j'ai apprise...

La 2e méthode, c'est celle qu'on utilise pour effectuer la soustraction 3 h 00 min 25 s - 1 h 47 min 38 s : là, moi aussi j'ai choisi le cas extrême...

Nous faisons ici une proposition de démarche pour faire comprendre la propriété « quand on ajoute la même chose à deux nombres, ça ne change pas leur différence ».

En 6e, on peut utiliser une autre démarche, plus concrète qui fonctionne aussi en CE2.
L'idéal serait de disposer d'un escalier, à défaut d'une salle de classe avec un revêtement de sol en carrelage (plus prudent !).
On demande deux volontaires.
Le 1er se met dos au tableau, on lui demande d'avancer (vers le fond de la classe), mettons de 6 carreaux.
Le 2e volontaire prend alors place dos au tableau sur la même colonne de carrelages et avance de 2 pas (par ex).
Le 1er est alors séparé du tableau par 6 carreaux, le 2nd par 2 carreaux et sont séparés par 6 - 2, 4 carreaux.
Il est alors facile de vérifier que si les deux avancent simultanément du même nombre de carreaux : l'écart entre les deux reste le même.
On peut faire ça avec un jeu de dames et deux pions.
On peut faire ça dans la cour en traçant des carreaux à la craie...

Sandraneko a écrit :

Pourtant, impossible de lui faire m'expliquer comment il faisait pour apprendre le sens mathématique sans apprendre de "logique de calcul" (peut on aussi parler de "méthode"?) en ce2. Et ça, ça m'interroge.

C'est bien vrai que, et je le répète à chaque occasion :<< Science sans conscience n'est que ruine de l'âme ! >>(Rabelais. Ça ne date pas d'aujourd'hui !)...
MAIS,
en ce qui concerne l'addition, il n'est pas difficile de montrer qu'elle a été inventée pour se simplifier la vie et gagner du temps (encore !) en racontant une petite histoire :
Un élève veut s'acheter deux revues, l'une coûte 5 €, l'autre 7 €.
Dans son porte-monnaie, il  a 14 pièces de 1 €. Comment savoir s'il a assez d'argent ?
il s'asseoit donc dans un coin, ouvre son porte-monnaie et commence à sortir 5 pièces de 1 € :  il en reste dans le porte-monnaie...
Il en recompte alors 7 et il lui reste encore deux pièces.
Il sait donc qu'il a assez d'argent...
Question : Qu'aurait-il pu faire d'autre ?

La réponse va fuser...

Si tu as des élèves réceptifs, tu peux leur parler des Romains et de la façon dont ils calculaient...
(Pourquoi cet italique te demandes-tu peut-être ? La réponse va être donnée..)
Les Romains ne pouvaient poser leurs opérations comme nous ! Essaie donc d'additionner LXXXVII et XXIV
Et peu maîtrisaient le procédé :ceux qui savaient disposaient d'un abaque sorte de planchette rainurée pour les unités, les dizaines, les centaines,  les milliers, les dizaines de mille, les centaines de mille et d'un sac de petits cailloux.
LXXXVIII
Ils commençaient par mettre 8 petits cailloux dans la colonne des unités, puis 5 dans les dizaines (le) puis encore 3...
Et ils passaient au 2e nombre : et d'ajouter 4 petits cailloux dans les unités et 2 dans les dizaines..
Là, ils constataient qu'il y avait plus de dix cailloux dans la colonne unités, ils les enlevaient : il en restait deux, puis en ajoutait 1 dans la colonne des dizaines...
(Tiens l'ancêtre de la retenue ! On peut les questionner, je suis sûr que beaucoup sauraient répondre)
Et on passe aux dizaines : et de les compter... D'abord de 1 à 10 : ah bin, il reste un petit caillou ! Et on en met 1 dans la colonne des centaines
Et ils écrivaient CXI. Pas question d'utiliser = et + apparus seulement après le XVe siècle...
Alors quel mot désignait en latin un petit caillou ? Réponse : calculus pluriel calculi... D'où notre mot "Calcul".
Le même mot retrouvant son sens origfinel lorsqu'on parle de calculs rénaux ou biliaires... ;-)

C'est bien de vouloir donner du sens aux opérations, mais il faut dans l'ordre :
1. En percevoir d'abord l'intérêt, l'utilité
2. Maîtriser la technique. En 6e, il y en a encore qui pataugent même avec addition, soustraction... Alors, pour ne pas les larguer, on autorise la calculette... On me demandait pourquoi, moi, je l'utilisais parfois et pas la majorité d'entre eux... Je répondais avec un grand sourire : parce que je n'en ai pas besoin, c'est juste pour me faire gagner du temps... Même en 3e, lors des calculs de proportionnalité dus aux calculs de longueurs dans le théorème de Thalès, par exemple : [tex]\dfrac{45 \times 14}{63}[/tex] (très) nombreux son ceux qui sautent sur leur calculette...
Et je me faisais un malin plaisir de leur montrer le temps nécessaire pour le faire à la main
Simplifier 45 avec 63 : [tex]\dfrac{45 \times 14}{63}=\dfrac{5 \times 14}{7}[/tex], puis 7 avec 14 : [tex]\dfrac{45 \times 14}{63}=\dfrac{5 \times 14}{7}= 5 \times 2 = 10[/tex]
Alors, certains chouinaient : bah, c'est normal, vous êtes prof de maths... Et moi de répondre "qu'ils inversaient l'ordre des facteurs..."
3. Avoir le sens des opérations :
En percevoir l'utilité, maîtriser la technique n'est d'aucun secours si face à une situation concrète, on est incapable de choisir la bonne opération...
Après, à chaque niveau suffit sa peine... Connaître les fondements mathématiques (et les formelliser) qui justifient une opération, c'est encore une autre étape...
Il me semble que dans les programmes de CM2 actuels (pardon, cycle 3), vous n'êtes plus censés faire allusion à la notion de distributivité de multiplication  sur l'addition. Et c'est heureux...

Mon Maneki neko me regarde en souriant... ^_^
(Je penses que tu sais ce qu'est un Maneki neko ?)

@+


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