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#1 08-02-2019 18:36:44

tibo
Membre actif
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Messages : 1 073

Une suite convergente ?

Salut,

Je fais quelques entraînement aux Olympiades mathématiques avec mes élèves ; et dans l'exercice 2 du sujet première Asie de l'année dernière, on tombe sur la suite suivante :
$R_3=2$
$R_{n+1}=\dfrac{R_n}{\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)}$

La dernière question consiste à formuler une conjecture sur cette suite.
Avec les élèves, on a rapidement conjecturé que cette suite était convergente mais sans vraiment approfondir par manque de temps.
Ils ont laissé tourner un petit script Python pendant plusieurs jours pour vérifier... et ça semble correct.
Mais ce n'est pas une preuve. (Si je laisse tourner le même script pour calculer la série harmonique, je risque de conjecturer la même chose...)

Une idée pour étudier plus rigoureusement cette suite ?


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#2 10-02-2019 14:31:16

Matou
Invité

Re : Une suite convergente ?

Bonjour,

Je mettrai [tex] R_n[\tex] sous la forme d'une constante divisée par un produit de cosinus. Je prendrais le logarithme et il me semble que la règle de d'Alembert permet de conclure.
Toutefois, je suis loin de mon domaine de compétence, si j'ai dit une bêtise, je m'en excuse par avance.

Matou

#3 10-02-2019 21:26:53

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 225

Re : Une suite convergente ?

Bonsoir,
c'est une suite à termes positifs, telle que [tex]\frac{R_n+1}{R_n}[/tex] équivaut à [tex]1+\frac{\pi^2}{2n^2}[/tex] quand n tend vers l'infini...

Il y a peut être une piste intéressante à explorer dans le post de Matou avec le logarithme, mais il me semble que dans ce cas le critère de Dalembert ne permet pas de conclure sur la nature de la suite, la limite du rapport  [tex]\frac{R_n+1}{R_n}[/tex] quand n tend vers l'infini valant 1..

Cf l'exercice 6 : www.bibmath.net/ressources/index.php?action=affiche&quoi=mathsup/feuillesexo/suites&type=fexo

Essayer d'encadrer [tex]R_n[/tex] ?

Dernière modification par Zebulor (10-02-2019 21:30:48)

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#4 11-02-2019 06:47:30

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 073

Re : Une suite convergente ?

Salut,

Merci pour vos idées.
J'ai essayé d'écrire $R_n$ comme l'inverse d'un produit de cosinus, et de l'encadrer ce produit avec des DL à l'ordre 2 et 4.
Mais ça fait plusieurs années que je n'ai pas fait ça... et on perd vraiment vite...
Impossible de conclure.

Bref ce n'est pas très grave.
Merci encore de vous être penché sur ma suite.


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#5 11-02-2019 09:20:01

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 517

Re : Une suite convergente ?

Salut,

les calculs informatiques montrent qu'elle est convergente vers une limite qui dépend du premier terme, mais en effet, il nous faudrait un esprit brillant et astucieux pour esquisser un élément de preuve :-)


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#6 11-02-2019 11:45:23

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 407

Re : Une suite convergente ?

Bonjour,

On peut facilement démontrer la convergence, mais avec des outils qui dépassent le cadre du secondaire.

On a pour $n\geq 3$ : $$ R_n =\frac2{\prod_{k=3}^{n-1}\cos\left(\frac{\pi}{k}\right)}$$ et la série des logarithmes $\sum_{k\geq3}-\ln\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{k}\right)\right)$ converge puisque son terme général est équivalent à $\dfrac{\pi^2}{2k^2}$. Le produit infini converge donc vers une limite non nulle.

Dernière modification par Michel Coste (11-02-2019 12:16:23)

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#7 11-02-2019 17:04:10

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 225

Re : Une suite convergente ?

Bonsoir,

Et juste pour compléter et ajouter : en d'autres termes la suite [tex]R_n[/tex] converge vers une limite (forcément non nulle) parce que la série [tex]\Sigma \frac {1}{k^2} [/tex] est elle aussi convergente vers une limite non nulle… à une certaine époque c'était au programme de 2eme année d'université : critères de comparaison des séries à termes positifs (ou de signe constants à partir d'un certain rang) avec la série [tex]\Sigma \frac {1}{n^a}[/tex]. Ici [tex]a>1[/tex] donne la convergence de la série des logarithmes, équivalente à la convergence (toujours vers une limite finie) de la suite [tex]R_n[/tex]

En méditant sur mon début de post #3 : l'équivalence du rapport [tex]\frac{R_n+1}{R_n}[/tex] avec l'expression [tex]1+\pi^2/(2n^2)[/tex] quand n tend vers l'infini permet de conclure à la convergence de la suite [tex]ln(R_n)[/tex]…  donc aussi à la convergence de [tex]R_n[/tex]…toujours par comparaison avec les séries standards de type [tex]\Sigma \frac {1}{n^a}[/tex], et après considération d'équivalences de fonctions...

On peut en fait généraliser : La suite [tex]U_n[/tex] à termes positifs (ou de signes constants à partir d'un certain rang) telle que [tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}[/tex] équivaut à [tex]1+ \frac{1}{n^a}[/tex] quand tend vers l'infini, est convergente si [tex]a>1[/tex], divergente sinon, parce qu'elle est de même nature que la série de terme général [tex]\Sigma \frac {1}{n^a}[/tex]

Dernière modification par Zebulor (14-02-2019 08:41:04)

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#8 12-02-2019 10:40:41

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

J'aimerais bien voir la démonstration de ce théorème.
Dans un livre qui traite les séries j'ai trouvé une série qui contredit ce théorème. 
Si je me rappelle bien l'exercice était de démontrer la convergente ou la non convergente de cette série et ce théorème ne marcher pas sur cette série même si il répondu au critère de ce théorème.

#9 12-02-2019 11:59:33

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 407

Re : Une suite convergente ?

Bonjour,

De quel théorème parles-tu ?
Essaie de t'exprimer plus précisément, même si tu fais des fautes de français.

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#10 12-02-2019 13:05:27

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Théorème : Premier théorème de comparaison
http://uel.unisciel.fr/mathematiques/se … re_09.html

#11 12-02-2019 13:29:53

Zebulor
Membre
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Messages : 225

Re : Une suite convergente ?

Bonjour,
C'est en effet important de savoir à quel théorème tu fais allusion CCEH. Le dernier paragraphe de mon post #7 où je généralise s'inspire plutôt du.. second théorème de comparaison de cette même page internet, en construisant les suites adaptées à ce second théorème :


http://uel.unisciel.fr/mathematiques/se … re_09.html

Dernière modification par Zebulor (12-02-2019 13:32:26)

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#12 12-02-2019 13:47:55

Michel Coste
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Messages : 407

Re : Une suite convergente ?

Le premier théorème du lien est une évidence à peu près immédiate. Détaillons tout de même.
La suite des sommes partielles d'une série à termes positifs est croissante. La série converge donc si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée, et dans ce cas la somme de la série est la borne supérieure des sommes partielles.
Si $0\leq u_n\leq v_n$ pour tout entier naturel $n$, alors  $S_n=\sum_{k=0}^n u_k\leq \sum_{k=0}^n v_k=T_n$. Si la suite des sommes partielles $T_n$ est majorée, celle des $S_n$ aussi  et sa borne supérieure est inférieure ou égale à la borne supérieure des $T_n$. Si la suite des $S_n$ n'est pas majorée, celle des $T_n$ non plus.

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#13 12-02-2019 14:42:25

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Je parle de premier théorème.
L'evidence n'est pas une demonstration non?


En voyans cette disscussion je me suis rapeller d'une serie dans un livre mathematique universtaire ecrit en francais qui respecter pas ce théoréme .

#14 12-02-2019 15:03:33

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Par exemple il est évident de dire que une somme de nombre positif donnera +infini ou un nombre positif mais ça ce n'est pas vrais car en peux aussi trouvé un nombre négatif.

#15 12-02-2019 15:08:28

Zebulor
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Messages : 225

Re : Une suite convergente ?

CCEH je ne suis pas sur d'avoir compris la seconde partie de ta phrase dans ton dernier post #14.
Un théorème peut paraître évident à première vue, mais sa démonstration peut parfois être subtile et compliquée ! en tout cas il me semble que tu disposes du détail du premier théorème.

Mais je suis curieux de connaître la série à laquelle tu fais allusion dans ton post #13 ..

Dernière modification par Zebulor (12-02-2019 15:14:43)

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#16 12-02-2019 15:45:45

Michel Coste
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Messages : 407

Re : Une suite convergente ?

CCEH fait peut-être allusion à la blague de $1+2+3+\cdots=-1/12$, mais ce n'est qu'une blague à propos de $\zeta(-1)=-1/12$. La série $\sum_n n$ est bien sur divergente.

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#17 12-02-2019 16:00:26

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Voila dont je parle sur le message 14.
https://sciencetonnante.wordpress.com/2 … 34567-112/

Pour la serie du poste 13 j'ai plus accés aux livres universtaire pour la chercher ca remonte a 2004/2005.
C'est une serie qui contradiser ce theoreme dommage que l'auteur du livre n'a rien vu car c'etait pas l'objectif de l'exercice.

#18 12-02-2019 16:34:37

Michel Coste
Membre
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Messages : 407

Re : Une suite convergente ?

C'est bien ce que je disais. Ça montre la mauvaise influence de ce genre de blagues sur des personnes qui, comme CCEH, ont des bases mathématiques chancelantes et sont prêts à croire n'importe quel truc évidemment faux.
Une série à termes positif converge vers une somme positive, ou diverge vers $+\infty$, TOUJOURS !

Dernière modification par Michel Coste (12-02-2019 16:39:06)

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#19 12-02-2019 16:57:49

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

Pourquoi vous dite que c'est une blague.
donc la théorie de corde est une blague aussi car il dépend de cette égalité non?

#20 12-02-2019 17:41:05

Zebulor
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Messages : 225

Re : Une suite convergente ?

Cà me fait penser au succès des théories complotistes en politique, et en sciences notamment (médecine, météorologie… ). Succès beaucoup moindre Outre Atlantique paraît il.
On s'éloigne du sujet posté par tibo mais croire qu'une série à termes positifs puisse converger vers une somme négative, c'est quand même fort de café... "mathématique"..

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#21 12-02-2019 18:30:43

Michel Coste
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Messages : 407

Re : Une suite convergente ?

Bien sûr CCEH, et la terre est plate, aussi.

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#22 12-02-2019 21:53:12

CCEH
Invité

Re : Une suite convergente ?

l'effet casmir est bien un fait de cette propriété.
C'est comme si la physique dit au mathématique de le suivre .

Je ne crois pas que la terre est plate mais je crois que en peux le rendre plats.

#23 12-02-2019 21:53:24

Zebulor
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Messages : 225

Re : Une suite convergente ?

Pour en revenir à l'essentiel du sujet de départ, et en attendant que la terre ne redevienne ronde, je serais curieux de savoir s'il existe une démonstration qui permette de trouver la limite de la suite [tex]R_n[/tex]...

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#24 12-02-2019 22:11:22

Michel Coste
Membre
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Messages : 407

Re : Une suite convergente ?

Ça m'étonnerait. Par contre, trouver une majoration explicite, j'y crois plus.

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#25 13-02-2019 06:02:15

tibo
Membre actif
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Messages : 1 073

Re : Une suite convergente ?

Ho la ! La discussion a pas mal divergé.

Merci Michel Coste pour la démo de la convergence de $(R_n)$.
Par contre je vais avoir du mal à l'expliquer correctement à mes petits premières ^^


@ CCEH : Pour cloturer le hors-sujet commencé plus haut sur la somme des entiers, je t'invite à regarder les vidéos suivantes de la chaine Science4All
1+2+4+8+16+... = -1 ??? Infini 4
1+2+3+4+5+... = -1/12 ??? Infini 5
La supersommation linéaire, stable et régulière | Hardcore 3
Une fois que tu les auras regardé, si tu as encore des remarques, n'hésite pas à ouvrir une autre discussion pour en parler.


Et cessons de diffuser ces idées plato-globistes. La terre est une bouteille de Klein !

Dernière modification par tibo (13-02-2019 06:07:51)


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