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#1 06-02-2019 06:58:21

dsb
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une limite

plusieurs edit la formule ne rentrait pas dans le format du forum
et de plus il s'agit d'une limite en zéro et non autre chose
arghhh je viens de voir une autre coquille (de toute façon ça ne pouvait pas être autre chose vu le contexte) : je voulais dire [tex]k_P=1-i_P-j_P[/tex]
c'est corrigé

Bonjour

Un truc que je trouve joli (bon après c'est les goûts et les couleurs comme on dit)

On se place dans [tex]E[/tex] le plan affine euclidien usuel muni de sa distance usuelle [tex]d[/tex]
et on notera [tex]\overrightarrow {E}[/tex]  sa direction

Soient [tex]V=\begin {pmatrix}cos \theta \\ sin \theta \end {pmatrix}[/tex] un quelconque vecteur unitaire de  [tex]\overrightarrow {E}[/tex] 

et [tex]ABC[/tex] un triangle non plat

et on considère  [tex]\left(ABC\right)[/tex] la base affine de [tex]E[/tex] définie par ce triangle

_____________________
petites conventions d'écriture

pour tout point [tex]P[/tex] de [tex]E[/tex]
on dira que [tex]\left(i_P:j_P:k_P\right)[/tex]
sont les coordonnées barycentriques normalisées (en abrégé CBN)
du point [tex]P[/tex] sur [tex]\left(ABC\right)[/tex] 

et selon ce qui sera le plus pratique à écrire
[tex]d(X,Y)[/tex] ou [tex]XY[/tex] la distance entre les deux points [tex]X[/tex] et [tex]Y[/tex]
____________________

[tex]G[/tex] le centre de gravité du triangle [tex]ABC[/tex]

[tex]A^{\prime}[/tex] le milieu de [tex]\left[BC\right][/tex]
[tex]B^{\prime}[/tex] le milieu de [tex]\left[AC\right][/tex]
[tex]C^{\prime}[/tex] le milieu de [tex]\left[AB\right][/tex]

et
[tex]a=BC[/tex]  , [tex]b=AC[/tex]  , [tex]c=AB[/tex]

Soit une application [tex]f:\mathbb {R}_+\rightarrow E[/tex] définie par la translation [tex]f(x)=G+xV[/tex]

et enfin par rapport au repère cartésien canonique d'origine [tex]\left( 0;0 \right)[/tex] et de base [tex]\begin {pmatrix}1&0 \\ 0&1\end {pmatrix}[/tex]
on note
[tex]\left(a_1;a_2\right)[/tex] les coordonnées cartésiennes du point [tex]A[/tex] sur ce repère
[tex]\left(b_1;b_2\right)[/tex] les coordonnées cartésiennes du point [tex]B[/tex] sur ce repère
[tex]\left(c_1;c_2\right)[/tex] les coordonnées cartésiennes du point [tex]C[/tex] sur ce repère

Alors en posant

[tex]r_A=\sqrt {2b^2+2c^2-a^2}[/tex]
[tex]r_B=\sqrt {2a^2+2c^2-b^2}[/tex]
[tex]r_C=\sqrt {2a^2+2b^2-c^2}[/tex]

[tex]\delta =\left(a_1 -c_1 \right).\left(b_2 -c_2 \right)-\left( a_2- c_2\right).\left(b_1 - c_1\right)[/tex]

[tex]i_P=\dfrac {\left(b_2 -c_2 \right).\left(cos\left( \theta \right) - c_1\right)-\left(b_1 -c_1 \right).\left(sin\left(  \theta  \right) -c_2 \right)}{\delta }[/tex]
[tex]j_P=\dfrac {\left( a_1- c_1\right).\left(sin\left(  \theta  \right) -c_2 \right)-\left( a_2-c_2 \right).\left(cos \left(  \theta  \right) - c_1\right)}{\delta}[/tex]
[tex]k_P=1-i_P-j_P[/tex]
[tex]i_Q=\dfrac {c_2.\left(b_1 -c_1 \right)-c_1.\left(b_2 - c_2\right)}{\delta }[/tex]
[tex]j_Q=\dfrac {c_1.\left(a_2-c_2 \right)-c_2.\left(a_1 -c_1 \right)}{\delta }[/tex]
[tex]k_Q=1-i_Q-j_Q[/tex]

et

[tex]i=j_Q-j_P+k_Q-k_P[/tex]
[tex]j=j_P-j_Q[/tex]
[tex]k=k_P-k_Q[/tex]

attention là i,j,k ne sont pas des CBN car i+j+k=0



[tex]T_A=\dfrac {b^2.\left( j+3k\right)+c^2.\left( 3j+k\right)-a^2.\left( j+k\right)}{r_A}[/tex]
[tex]T_B=\dfrac {a^2.\left( i+3k\right)+c^2.\left( 3i+k\right)-b^2.\left( i+k\right)}{r_B}[/tex]
[tex]T_C=\dfrac {a^2.\left( i+3j\right)+b^2.\left( 3i+j\right)-c^2.\left(i+j \right)}{r_C}[/tex]

On obtient la limite

[tex]\lim_{x\to 0} \dfrac {1}{d\left(G,f(x)\right)}.[/tex]
[tex].\left(3.d\left(G,f(x)\right)-d\left(A,f(x)\right)-d\left(B,f(x)\right)-d\left(C,f(x)\right)+2.d\left(A^{\prime},f(x)\right)+2.d\left(B^{\prime},f(x)\right)+2.d\left(C^{\prime},f(x)\right)\right)[/tex]
[tex]=3-\dfrac {3}{2}.\left(  T_A+T_B+T_C\right)[/tex]

Dernière modification par dsb (06-02-2019 08:19:22)

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#2 07-02-2019 12:24:24

dsb
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Re : une limite

edit j'avais oublié le point [tex]L[/tex] 

Bonjour

Une petite conséquence du calcul de la limite précédente (voir le post précédent pour ce qui a déjà été posé)

Au triangle non plat [tex]ABC[/tex] on peut y associer une fonction [tex]g:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}[/tex] qui va s'écrire ci-dessous de deux façons différentes

une première écriture  de [tex]g[/tex] , écriture non commode car elle fait intervenir un epsilon qui doit tendre vers zéro

[tex]g(x)=\lim_{\epsilon\to 0} 3+\dfrac {2PA^{\prime}+2PB^{\prime}+2PC^{\prime}-PA-PB-PC}{\epsilon} [/tex]

avec [tex]P=G+\epsilon .cos(x).\overrightarrow {GI}+\epsilon .sin(x).\overrightarrow {GJ}[/tex]

où ici on considère trois points  [tex]L[/tex] ,  [tex]I[/tex] et [tex]J[/tex] définis par les translations

[tex]L=B-\dfrac {\langle \overrightarrow {GA} | \overrightarrow {GB} \rangle}{GA^2}. \overrightarrow {GA} [/tex]

où [tex]\langle \overrightarrow {GA} | \overrightarrow {GB} \rangle[/tex] désigne le produit scalaire usuel [tex]\langle X|Y\rangle=x_1y_1+x_2y_2[/tex]

[tex]I=G+\dfrac {1}{GA}.\overrightarrow {GA}[/tex] , [tex]J=G+\dfrac {1}{GL}.\overrightarrow {GL}[/tex]

une deuxième écriture plus commode de  [tex]g[/tex] 

[tex]g(x)= 3-\dfrac {3}{2r_A}.\left(b^2.\left(f_j(x)+3f_k(x)\right)+c^2.\left(3f_j(x)+f_k(x)\right)-a^2.\left(f_j(x)+f_k(x)\right)\right)[/tex]
[tex]-\dfrac {3}{2r_B}.\left(a^2.\left(f_i(x)+3f_k(x)\right)+c^2.\left(3f_i(x)+f_k(x)\right)-b^2.\left(f_i(x)+f_k(x)\right)\right)[/tex]
[tex]-\dfrac {3}{2r_C}.\left(a^2.\left(f_i(x)+3f_j(x)\right)+b^2.\left(3f_i(x)+f_j(x)\right)-c^2.\left(f_i(x)+f_j(x)\right)\right)[/tex]

où ici on considère trois fonctions [tex]f_i:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}[/tex] , [tex]f_j:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}[/tex] , [tex]f_k:\mathbb {R}\rightarrow \mathbb {R}[/tex] définies par
[tex]f_i(x)=-f_j(x)-f_k(x)[/tex] , [tex]f_j(x)=\left(j_J-\dfrac {1}{3} \right).sin(x)-\dfrac {1}{3GA}.cos(x)[/tex] , [tex]f_k(x)=\left(k_J-\dfrac {1}{3} \right).sin(x)-\dfrac {1}{3GA}.cos(x)[/tex]
 
donc je rappelle ce qui a déjà été dit dans la convention d'écriture
[tex]\left(i_J:j_J:k_J\right)[/tex] sont les coordonnées barycentriques normalisées du point [tex]J[/tex] sur [tex]\left(ABC\right)[/tex]
et on avait déjà donnés les valeurs de [tex]r_A,r_B,r_C[/tex]

Dernière modification par dsb (07-02-2019 12:35:32)

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#3 08-02-2019 08:53:00

dsb
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Re : une limite

une petite conséquence de l'écriture de la fonction précédente

pour un point [tex]D[/tex] alors lorsque [tex]GD[/tex] tend vers zéro

[tex] \dfrac {2DA^{\prime}+2DB^{\prime}+2DC^{\prime}-DA-DB-DC}{GD} [/tex] tend vers le nombre réel donné par

[tex]-\dfrac {3}{2r_A}.\left(b^2.\left(f_j(t)+3f_k(t)\right)+c^2.\left(3f_j(t)+f_k(t)\right)-a^2.\left(f_j(t)+f_k(t)\right)\right)[/tex]
[tex]-\dfrac {3}{2r_B}.\left(a^2.\left(f_i(t)+3f_k(t)\right)+c^2.\left(3f_i(t)+f_k(t)\right)-b^2.\left(f_i(t)+f_k(t)\right)\right)[/tex]
[tex]-\dfrac {3}{2r_C}.\left(a^2.\left(f_i(t)+3f_j(t)\right)+b^2.\left(3f_i(t)+f_j(t)\right)-c^2.\left(f_i(t)+f_j(t)\right)\right)[/tex]

avec [tex]cos(t)=\dfrac {m_{22}.d_1-m_{12}.d_2}{d_0.GD}[/tex] ,  [tex]sin(t)=\dfrac {m_{11}.d_2-m_{21}.d_1}{d_0.GD}[/tex] , [tex]d_0=m_{11}.m_{22}-m_{12}.m_{21}[/tex]

[tex]\overrightarrow {GI}=\begin {pmatrix} m_{11} \\ m_{21} \end {pmatrix}[/tex] , [tex]\overrightarrow {GJ}=\begin {pmatrix} m_{12} \\ m_{22} \end {pmatrix}[/tex] , [tex]\overrightarrow {GD}=\begin {pmatrix} d_1 \\ d_2 \end {pmatrix}[/tex]

une petite image (histoire que ce soit moins en noir et blanc)

d c'est la formule précédente

6pse.png

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#4 08-02-2019 11:34:14

dsb
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Re : une limite

Bonjour

Ci-dessous afin de visualiser l'angle orienté [tex]t[/tex]  consiste à le fixer puis prendre  [tex]GD[/tex] pour variable dans l'écriture du point  [tex]D[/tex] 

[tex]t[/tex] c'est l'angle orienté [tex]t=\left(\overrightarrow {GI},\overrightarrow {GD}\right)_{\left[\overrightarrow {GI},\overrightarrow {GJ}\right]}[/tex] définit sur le plan orienté par  la base orthonormale [tex]\left[\overrightarrow {GI},\overrightarrow {GJ}\right][/tex]

  hqha.png

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#5 08-02-2019 12:00:05

dsb
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Re : une limite

NB : ce qui évite d'être obligé d'utiliser la valeur de  [tex]GD[/tex] pour exprimer [tex]cos(t)[/tex] et  [tex]sin(t)[/tex]

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#6 08-02-2019 14:16:40

dsb
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Re : une limite

une petite conséquence de l'écriture de [tex]D[/tex] en se fixant  [tex]t[/tex]
sera de permettre (après le passage en CBN-voir le premier post)
d'une quatrième écriture de cette limite (qui je le rappelle est le sujet de ce fil )
mais pas seulement, on pourra en effet proposer une autre écriture du rapport
 
[tex] \dfrac {2DA^{\prime}+2DB^{\prime}+2DC^{\prime}-DA-DB-DC}{GD} [/tex]

Ainsi donc en prennant [tex]x[/tex] pour variable
[tex]D=G+x.cos(t).\overrightarrow {GI}+x.sin(t).\overrightarrow {GJ}[/tex]

il s'agit donc de re-écrire tout cela en prenant

[tex]i_A=1,j_A=0,k_A=0[/tex]
[tex]i_B=0,j_B=1,k_B=0[/tex]
[tex]i_C=0,j_C=0,k_C=1[/tex]

Afin d'éviter le gaspillage des lettres :
Dans le premier post on avait utilisé la lettre grecque delta mais celle-ci ne nous a servit que pour exprimer une deuxième écriture de cette limite
comme depuis on a proposé une troisième écriture de celle-ci, cette lettre delta ne nous servira plus
les lettres de l'alphabet étant en quantité limité, dans ce qui vient on utilisera à nouveau la lettre delta mais pour exprimer autre chose
 

Comme là ça va commencer à devenir particulièrement barbant : je fais une pause (et puis comme ça ce qui est écrit en gras sera bien incrusté dans la tête de l'hypothétique lecteur  )

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#7 13-02-2019 23:55:42

dsb
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Re : une limite

Bonjour

À propos des formules sur les CBN, comme je les avaient écrites à la main et comme je refais tous mes cahiers en écriture plus propre, je me suis dit comme ça "bah autant que je poste les formules ici une fois écrites" (ça peut intéresser quelqu'un qui lui aussi a toutes ses formules écrites à la main et qui compte tout refaire au propre c'est aussi le désavantage qu'on a quand fait tout bêtement soi même au lieu de les trouver dans un bouquin -sauf que on a pas besoin de milliers de livres comme je l'ai dit sur un autre fil même si ça fait vivre les auteurs) 

Changement de repères barycentriques dans le plan affine

Soient [tex]\left(ABC\right)[/tex] et [tex]\left(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\right)[/tex] deux repères barycentriques
[tex]P[/tex] un point du plan et on note [tex]\left(i_P:j_P:k_P\right)[/tex] resp.[tex]\left(i_P^{\prime}:j_P^{\prime}:k_P^{\prime}\right)[/tex]
ses CBN par rapport à [tex]\left(ABC\right)[/tex] resp. [tex]\left(A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}\right)[/tex] 
[tex]\left(i_A:j_A:k_A\right)=\left(i_{A^{\prime}}^{\prime}:j_{A^{\prime}}^{\prime}:k_{A^{\prime}}^{\prime}\right)=\left(1:0:0\right)[/tex]
[tex]\left(i_B:j_B:k_B\right)=\left(i_{B^{\prime}}^{\prime}:j_{B^{\prime}}^{\prime}:k_{B^{\prime}}^{\prime}\right)=\left(0:1:0\right)[/tex]
[tex]\left(i_C:j_C:k_C\right)=\left(i_{C^{\prime}}^{\prime}:j_{C^{\prime}}^{\prime}:k_{C^{\prime}}^{\prime}\right)=\left(0:0:1\right)[/tex]
et on notera [tex]\begin {pmatrix}x_P\\y_P\end {pmatrix}[/tex] la matrice des coordonnées cartésiennes du point [tex]P[/tex]
[tex]\begin {pmatrix}x_P\\y_P\end {pmatrix}=i_P\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}+j_P\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}+k_P\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}=i_P^{\prime}\begin {pmatrix}x_{A^{\prime}}\\y_{A^{\prime}}\end {pmatrix}+j_P^{\prime}\begin {pmatrix}x_{B^{\prime}}\\y_{B^{\prime}}\end {pmatrix}+k_P^{\prime}\begin {pmatrix}x_{C^{\prime}}\\y_{C^{\prime}}\end {pmatrix}[/tex]
avec
[tex]\begin {pmatrix}x_{A^{\prime}}\\y_{A^{\prime}}\end {pmatrix}=i_{A^{\prime}}\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}+j_{A^{\prime}}\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}+k_{A^{\prime}}\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}[/tex]
[tex]\begin {pmatrix}x_{B^{\prime}}\\y_{B^{\prime}}\end {pmatrix}=i_{B^{\prime}}\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}+j_{B^{\prime}}\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}+k_{B^{\prime}}\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}[/tex]
[tex]\begin {pmatrix}x_{C^{\prime}}\\y_{C^{\prime}}\end {pmatrix}=i_{C^{\prime}}\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}+j_{C^{\prime}}\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}+k_{C^{\prime}}\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}[/tex]
donc
[tex]\begin {pmatrix}x_P\\y_P\end {pmatrix}=\left(i_P^{\prime}i_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}i_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}i_{C^{\prime}}\right)\begin {pmatrix}x_A\\y_A\end {pmatrix}[/tex]
[tex]+\left(i_P^{\prime}j_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}j_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}j_{C^{\prime}}\right)\begin {pmatrix}x_B\\y_B\end {pmatrix}[/tex]
[tex]+\left(i_P^{\prime}k_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}k_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}k_{C^{\prime}}\right)\begin {pmatrix}x_C\\y_C\end {pmatrix}[/tex]
donc
[tex]i_P=i_P^{\prime}i_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}i_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}i_{C^{\prime}}[/tex]
[tex]j_P=i_P^{\prime}j_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}j_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}j_{C^{\prime}}[/tex]
[tex]k_P=i_P^{\prime}k_{A^{\prime}}+j_P^{\prime}k_{B^{\prime}}+k_P^{\prime}k_{C^{\prime}}[/tex]
donc
[tex]\begin {pmatrix}i_P\\j_P\\k_P\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}i_{A^{\prime}}&i_{B^{\prime}}&i_{C^{\prime}}\\ j_{A^{\prime}}&j_{B^{\prime}}&j_{C^{\prime}}\\ k_{A^{\prime}}&k_{B^{\prime}}&k_{C^{\prime}}\end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_P^{\prime}\\j_P^{\prime}\\k_P^{\prime}\end {pmatrix}[/tex]
de la même manière
[tex]\begin {pmatrix}i_P^{\prime}\\j_P^{\prime}\\k_P^{\prime}\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}i_{A}^{\prime}&i_{B}^{\prime}&i_{C}^{\prime}\\ j_{A}^{\prime}&j_{B}^{\prime}&j_{C}^{\prime}\\ k_{A}^{\prime}&k_{B}^{\prime}&k_{C}^{\prime}\end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_P\\j_P\\k_P\end {pmatrix}[/tex]
donc
[tex]\begin {pmatrix}i_{A^{\prime}}&i_{B^{\prime}}&i_{C^{\prime}}\\ j_{A^{\prime}}&j_{B^{\prime}}&j_{C^{\prime}}\\ k_{A^{\prime}}&k_{B^{\prime}}&k_{C^{\prime}}\end {pmatrix}.\begin {pmatrix}i_{A}^{\prime}&i_{B}^{\prime}&i_{C}^{\prime}\\ j_{A}^{\prime}&j_{B}^{\prime}&j_{C}^{\prime}\\ k_{A}^{\prime}&k_{B}^{\prime}&k_{C}^{\prime}\end {pmatrix}=\begin {pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end {pmatrix}[/tex]
notons les déterminants
[tex]d=det\begin {pmatrix}i_{A^{\prime}}&i_{B^{\prime}}&i_{C^{\prime}}\\ j_{A^{\prime}}&j_{B^{\prime}}&j_{C^{\prime}}\\ k_{A^{\prime}}&k_{B^{\prime}}&k_{C^{\prime}}\end {pmatrix}[/tex] et [tex]d^{\prime}=det \begin {pmatrix}i_{A}^{\prime}&i_{B}^{\prime}&i_{C}^{\prime}\\ j_{A}^{\prime}&j_{B}^{\prime}&j_{C}^{\prime}\\ k_{A}^{\prime}&k_{B}^{\prime}&k_{C}^{\prime}\end {pmatrix}[/tex]
[tex]d=i_{A^{\prime}}j_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}+i_{B^{\prime}}j_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}+i_{C^{\prime}}j_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}[/tex]
[tex]-i_{A^{\prime}}j_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}j_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}j_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}[/tex]
[tex]d^{\prime}=i_A^{\prime}j_B^{\prime}k_C^{\prime}+i_B^{\prime}j_C^{\prime}k_A^{\prime}+i_C^{\prime}j_A^{\prime}k_B^{\prime}[/tex]
[tex]-i_A^{\prime}j_C^{\prime}k_B^{\prime}-i_B^{\prime}j_A^{\prime}k_C^{\prime}-i_C^{\prime}j_B^{\prime}k_A^{\prime}[/tex]

On obtient les formules de changement de repères  barycentriques

[tex]d.i_P^{\prime}=\left(j_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}-j_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}\right).i_P+\left(i_{C^{\prime}}k_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}k_{C^{\prime}}\right).j_P+\left(i_{B^{\prime}}j_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}j_{B^{\prime}}\right).k_P[/tex]
[tex]d.j_P^{\prime}=\left(j_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}-j_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}\right).i_P+\left(i_{A^{\prime}}k_{C^{\prime}}-i_{C^{\prime}}k_{A^{\prime}}\right).j_P+\left(i_{C^{\prime}}j_{A^{\prime}}-i_{A^{\prime}}j_{C^{\prime}}\right).k_P[/tex]
[tex]d.k_P^{\prime}=\left(j_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}-j_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}\right).i_P+\left(i_{B^{\prime}}k_{A^{\prime}}-i_{A^{\prime}}k_{B^{\prime}}\right).j_P+\left(i_{A^{\prime}}j_{B^{\prime}}-i_{B^{\prime}}j_{A^{\prime}}\right).k_P[/tex]

[tex]d^{\prime}.i_P=\left(j_{B}^{\prime}k_{C}^{\prime}-j_{C}^{\prime}k_{B}^{\prime}\right).i_P^{\prime}+\left(i_{C}^{\prime}k_{B}^{\prime}-i_{B}^{\prime}k_{C}^{\prime}\right).j_P^{\prime}+\left(i_{B}^{\prime}j_{C}^{\prime}-i_{C}^{\prime}j_{B}^{\prime}\right).k_P^{\prime}[/tex]
[tex]d^{\prime}.j_P=\left(j_{C}^{\prime}k_{A}^{\prime}-j_{A}^{\prime}k_{C}^{\prime}\right).i_P^{\prime}+\left(i_{A}^{\prime}k_{C}^{\prime}-i_{C}^{\prime}k_{A}^{\prime}\right).j_P^{\prime}+\left(i_{C}^{\prime}j_{A}^{\prime}-i_{A}^{\prime}j_{C}^{\prime}\right).k_P^{\prime}[/tex]
[tex]d^{\prime}.k_P=\left(j_{A}^{\prime}k_{B}^{\prime}-j_{B}^{\prime}k_{A}^{\prime}\right).i_P^{\prime}+\left(i_{B}^{\prime}k_{A}^{\prime}-i_{A}^{\prime}k_{B}^{\prime}\right).j_P^{\prime}+\left(i_{A}^{\prime}j_{B}^{\prime}-i_{B}^{\prime}j_{A}^{\prime}\right).k_P^{\prime}[/tex]

Produit scalaire

Soit [tex]\left(ABC\right)[/tex] une base affine du plan
on considère les notations conventionnelles sur un triangle [tex]ABC[/tex]
[tex]a=BC , b=AC , c=BC[/tex]
[tex]\left(i_P:j_P:k_P\right)[/tex] resp. [tex]\left(i_Q:j_Q:k_Q\right)[/tex]
resp. [tex]\left(i_T:j_T:k_T\right)[/tex] resp. [tex]\left(i_U:j_U:k_U\right)[/tex]
les CBN d'un point [tex]P[/tex] resp. [tex]Q[/tex] resp. [tex]T[/tex] resp. [tex]U[/tex]
par rapport à [tex]\left(ABC\right)[/tex]

[tex]\langle \overrightarrow {PQ}|\overrightarrow {TU} \rangle = c^2\left(j_Q-j_P\right)\left(j_U-j_T\right)+b^2\left(k_Q-k_P\right)\left(k_U-k_T\right)[/tex]
[tex]+\dfrac {1}{2}\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(\left(j_Q-j_P\right)\left(k_U-k_T\right)+\left(k_Q-k_P\right)\left(j_U-j_T\right)\right)[/tex]

Cas général dans [tex]\mathbb {R}^n[/tex]

Soit [tex]\left(A_1,...,A_m\right)[/tex] avec [tex]n=m-1[/tex] une base affine de [tex]\mathbb {R}^n[/tex]
[tex]\left(p_1:...:p_m\right)[/tex] resp. [tex]\left(q_1:...:q_m\right)[/tex]
resp. [tex]\left(t_1:...:t_m\right)[/tex] resp. [tex]\left(u_1:...:u_m\right)[/tex]
les CBN d'un point [tex]P[/tex] resp. [tex]Q[/tex] resp. [tex]T[/tex] resp. [tex]U[/tex]
par rapport à [tex]\left(A_1,...,A_m\right)[/tex]

[tex]\langle \overrightarrow {PQ}|\overrightarrow {TU} \rangle = \dfrac {1}{2}\sum _{i=1,j=1}^{i=n,j=n}\left(q_{i+1}-p_{i+1}\right)\left(u_{j+1}-t_{j+1}\right)\left(A_1A_{i+1}^2+A_1A_{j+1}^2-A_{i+1}A_{j+1}^2\right)[/tex]

Distance entre deux points du plan

À partir de là on obtient aisément [tex]3!=6 [/tex] formules pour la distance entre deux points du plan

une seule suffit (les autres sont faciles à retrouver à partir de celle-là

toujours en prenant [tex]a=BC , b=AC , c=AB[/tex]

Et en prenant
[tex]\alpha [/tex] l'angle géométrique en [tex]A[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex]
[tex]\beta [/tex] l'angle géométrique en [tex]B[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex]
[tex]\gamma [/tex] l'angle géométrique en [tex]C[/tex] du triangle [tex]ABC[/tex]
et en considérant
[tex]\left(i_P:j_P:k_P\right)[/tex] resp. [tex]\left(i_Q:j_Q:k_Q\right)[/tex] les CBN d'un point [tex]P[/tex] resp. [tex]Q[/tex]
et en posant [tex]\delta =i_P-i_Q+j_P-j_Q[/tex]
alors
[tex]PQ=\sqrt {\left(b\delta+c\left(j_Q-j_P\right)\right)^2+2bc\delta\left(j_Q-j_P\right)\left(cos(\alpha)-1\right)}[/tex]

Translation

Cas général dans  [tex]\mathbb {R}^n[/tex]

on posera [tex]m=n+1[/tex]

Soient sont donnés :
un réel [tex]t\in \mathbb {R}[/tex]
[tex]\left(p_1,...,p_m\right)[/tex] resp. [tex]\left(q_1,...,q_m\right)[/tex] resp. [tex]\left(r_1,...,r_m\right)[/tex] 
les CBN d'un point [tex]P[/tex] resp. [tex]Q[/tex] resp.  [tex]R[/tex] 
par rapport à une base affine [tex]\left(A_1,...,A_m\right)[/tex]
on considère la translation [tex]T=R+t \overrightarrow {PQ}[/tex]
alors en notant [tex]\left(t_1,...,t_m\right)[/tex]
les CBN de [tex]T[/tex] par rapport à [tex]\left(A_1,...,A_m\right)[/tex]
on obtient
[tex]t_1=1-t_2-...-t_m[/tex]
[tex]t_2=r_2+t\left(q_2-p_2\right)[/tex]
[tex]...[/tex]
[tex]t_m=r_m+t\left(q_m-p_m\right)[/tex]

bon avec ces formules sous les yeux on peut re écrire cette limite (et le rapport ) de façon plus commode

mais là je dois partir

Dernière modification par dsb (14-02-2019 06:52:38)

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#8 14-02-2019 11:30:19

dsb
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Re : une limite

Bonjour

Je reviendrai plus tard pour proposer une autre écriture de cette limite à l'aide des formules écrites cette nuit

mais là je suis juste revenu car mon orthographe ne va pas (ceci dit si vous voyez que je me trompe n'hésitez pas car c'est comme ça qu'on progresse)

dsb a écrit :

À propos des formules sur les CBN, comme je les avait écrites à la main et comme je refais tous mes cahiers en écriture plus propre, je me suis dit comme ça "bah autant que je poste les formules ici une fois écrites" (ça peut intéresser quelqu'un qui lui aussi a toutes ses formules écrites à la main et qui compte tout refaire au propre c'est aussi le désavantage que l'on a quand on fait tout bêtement soi même au lieu de les trouver dans un bouquin (sauf qu'on a pas besoin de milliers de livres comme je l'ai dit sur un autre fil même si ça fait vivre les auteurs)

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#9 14-02-2019 12:43:20

yoshi
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Re : une limite

Salut,

dsb a écrit :

À propos des formules sur les CBN, comme je les avait écrites à la main et comme je refais tous mes cahiers en écriture plus propre, je me suis dit comme ça "bah autant que je poste les formules ici une fois écrites" (ça peut intéresser quelqu'un qui lui aussi a toutes ses formules écrites à la main et qui compte tout refaire au propre c'est aussi le désavantage que l'on a quand on fait tout bêtement soi même au lieu de les trouver dans un bouquin (sauf qu'on a pas besoin de milliers de livres comme je l'ai dit sur un autre fil même si ça fait vivre les auteurs)

Nan !

À propos des formules sur les CBN, comme je les avait avais écrites à la main et comme je refais tous mes cahiers en écriture plus propre, je me suis dit comme ça "bah autant que je poste les formules ici une fois écrites" (ça peut intéresser quelqu'un qui lui aussi a toutes ses formules écrites à la main et qui compte tout refaire au propre c'est aussi le désavantage que l'on a quand on fait tout bêtement soi-même au lieu de les trouver dans un bouquin (sauf qu'on a qu'on n'a pas besoin de milliers de livres comme je l'ai dit sur un autre fil même si ça fait vivre les auteurs)

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#10 15-02-2019 11:56:00

dsb
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Re : une limite

Merci Yoshi

Je ne sais pas quand je reviendrai pour terminer ce fil (le temps passe si vite et j'ai tellement de choses à faire)

Juste une admiration : Des gens aussi doués en maths qu'en langage humain ça force le respect d'office!

Ma haine des humains m'empêche de devenir aussi bon que vous mais haine ou pas sachant que tu es un humain Yoshi je commence à avoir peur de vous et donc la haine si elle existe-et cela je n'en doute pas car c'est ma raison d'être que de voir en l'humain mon ennemi -  devient déjà un peu troublée et pleine de crainte à défaut d'amour

Bonne continuation à vous Yoshi

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#11 15-02-2019 12:44:35

yoshi
Modo Ferox
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Re : une limite

Re,

Ne pas confondre capacité orthographique et capacité d'écriture qui est loin d'être la même chose...
Lycéen, j'avais la première mais pas la 2nde : elle est venue plus tard (août 1968), un événement s'est alors produit de l'autre côté du "rideau de fer" qui m'a obligé à écrire une demi-page pour rester sain d'esprit !
Et les vannes se sont ouvertes...
Extrait de "Dune" de Franck Herbert :
<< La peur est la petite mort qui tue l'esprit ! >>

@+


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