Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 30-01-2019 19:59:15

rapidracim
Membre
Inscription : 30-01-2019
Messages : 4

y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

l'integrale est :

[tex]\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} x^n(1-x)^n \, dx[/tex]

edit 1 : J'ai accidentellement appuyer sur 'submit', j'ajoute des details en ce moment.

edit 2 : la fonction à intégrer etant un polynome, j'ai penser a utiliser la formule du binome pour separer les monomes.

ce qui donne :

[tex]\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} x^n(1-x)^n \, dx = \sum_{k = 0}^{n}{ n \choose k}(-1)^{k}\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} x^{n+k} \, dx = \sum_{k = 0}^{n}{ n \choose k}(-1)^{k}[\frac{(\frac{3}{4})^{n+k+1}-(\frac{1}{4})^{n+k+1}}{n+k+1}] [/tex]

la somme de deux somme de termes generales qui j'ai du mal a trouver comment expliciter d'avantages.

peut etre existerai t'il une tout autre approche ?

Dernière modification par rapidracim (30-01-2019 20:07:02)

Hors ligne

#2 31-01-2019 11:23:45

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Salut,

c'est un eulérienne incomplète (première ou seconde espèce, je ne sais plus), ça se calcule par une suite d'intégrations par parties je pense.
Attendre d'autres réponses !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#3 31-01-2019 13:28:50

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Bonjour,

vu la tête de l'intégrale, ses bornes et la fonction à intégrer, on peut tenter 2 changements de variable successifs de façon à se recentrer sur x=0 en posant t=x-1/2, puis simplifier la fonction à intégrer. Ensuite changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique..

On devrait tomber sur une intégrale de Wallis..

à voir,  on aurait une intégrale de Wallis incomplète au facteur près mais je n'ai pas encore étudié la question !

Autre piste après 1er changement de variable [tex]t=x-1/2[/tex], appliquer la formule du binôme de Newton à cette nouvelle fonction à intégrer.. Comme tu l'as fait dans ton post #1 en permutant les signes somme et intégrale.

Dernière modification par Zebulor (31-01-2019 22:24:49)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#4 31-01-2019 13:47:21

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Zebulor a écrit :

Bonjour,

vu la tête de l'intégrale, ses bornes et la fonction à intégrer, on peut tenter 2 changements de variable successifs de façon à se recentrer sur x=0 en posant t=x-1/2, puis simplifier la fonction à intégrer. Ensuite changement de variable en utilisant une fonction trigonométrique..

On devrait tomber sur une intégrale de Wallis..

Ok pour recentrer le calcul mais non, c'est une eulérienne de première espèce qui aboutit à la fonction Béta

voir . En suivant le chemin, tu trouveras des idées pour la résolution, car c'est une eulérienne incomplète  et le chemin est bien balisé !

PS : l'intégrale de Wallis s'appuie aussi sur l'intégrale d'Euler qu'il faut donc connaître.
Bon courage !

Dernière modification par freddy (31-01-2019 13:48:56)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#5 01-02-2019 09:54:41

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Bonjour Rapidracim,

A moins que tu n'aies fini ton exercice, pour le moment tu as le choix à la carte entre :

- L'intégrale de Freddy (que je salue) avec l'Eulérienne "incomplète."
- La mienne, l'intégrale de Wallis également "incomplète", où ton intégrale vaut : [tex]\frac{1}{4^n}[/tex][tex]\int\limits_{0}^{\pi/6} \mathrm{cos}^{2n+1}(x) \, \mathrm{d}x [/tex]

Dernière modification par Zebulor (01-02-2019 09:59:39)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#6 01-02-2019 11:48:10

rapidracim
Membre
Inscription : 30-01-2019
Messages : 4

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Bonjour Zebulor, Bonjour Freddy, Merci de vos reponses,

j'ai suivie la route de freddy

[tex]\int_{\frac14}^{\frac34} x^n (1 - x)^n \, dx  = \int_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx - 2\int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx \tag1[/tex]

la premiere integrale eest une fonction beta et la deuxieme est une beta incomplete qui peut etre exprimer a l'aide de fonction hypergeometrique.

ici l'un des arguments de la fonction hypergeometrique $_{2}F_{1}$ est negatif donc la serie va en faite etre une somme finie.

qui apres simplifaction donne le meme resultat que si j'emploie la formule du binome a partir de la reecriture (1)

en effet :

[tex]\begin{align}\int_{\frac14}^{\frac34} x^n (1 - x)^n \, dx & = B(n+1,n+1) - 2B(\frac14;n+1,n+1) = \frac{\Gamma^2(n+1)}{\Gamma(2n+2)} -\frac{2}{4^{n+1}n+1}{_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4}) \\
&=\frac{(n^2)!}{(2n+1)!} -\frac{2}{4^{n+1}n+1} {_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4})
\end{align}[/tex]

donc

[tex]\begin{align}{_{2}}F_{1}(n+1,-n,n+2,\frac{1}{4}) &=  \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} \frac{(n+1)_k}{4^k(n+2)_k}   \\
&= 1 + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}{4^k(n+2)(n+3)\cdots(n+k+1)} \\
&=1 + \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(n+1)}{4^k(n+k+1)} \\
\end{align}[/tex]

ce qui est deja meilleur que deux sommes.

par contre je n'ai pas encore essayer l'approche 'Integrale de Wallis.' de Zebulor.

Dernière modification par rapidracim (01-02-2019 11:48:51)

Hors ligne

#7 01-02-2019 12:02:18

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Salut,

c'est bien (attention, je n'ai pas vérifié) ; maintenant, essaie par l'intégrale de Wallis !

Petit point de détail : comment transformes tu la borne 3/4 en une borne égale à 1 ?
Normalement, tu dois avoir une intégrale entre 0 et 3/4 moins une intégrale entre 0 et 1/4, non ?
Genre [tex]\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx  = \int_0^{\frac{3}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx - \int_0^{\frac{1}{4}} x^n (1 - x)^n \, dx \tag1[/tex]

Dernière modification par freddy (01-02-2019 12:35:53)


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

Hors ligne

#8 01-02-2019 13:56:35

aviateur
Membre
Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Bonjour
Cela revient au même mais à mon avis il n'est pas nécessaire d'utiliser les fonctions spéciales pour arriver au résultat. En effet en translatant la fonction à intégrer de sorte que  1/2 se retrouve en 0  et en utilisant la parité  on obtient
[tex]I_n=2\times  1/4^n   \int_0^{1/4}(1-4 x^2)^n dx[/tex]
Ensuite il suffit de développer avec le binôme de Newton et d'intégrer termes à termes pour trouver
[tex]I_n=2/4^n \sum_{k=0} ^n C_n^k (-1)^k \dfrac{1}{4^{k+1} (2k+1)}[/tex]

Dernière modification par aviateur (01-02-2019 13:57:56)

Hors ligne

#9 01-02-2019 14:21:57

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Bonjour,
Bien vu aviateur, j'ai pris un chemin détourné, dont je doute qu'il fasse mieux que ton expression de [tex]I_n[/tex] post #6 avec le signe sigma.
Je pensais pouvoir exploiter la complémentarité des fonctions sin et cos sur [tex][0;\frac{\pi}{2}][/tex], puis utiliser le résultat de l'intégrale de Wallis [tex]W_{2n+1}=\int\limits_{0}^{\pi/2} \mathrm{cos}^{2n+1}(x) \, \mathrm{d}x [/tex]. Dans ta méthode, le nombre de terme sous le signe [tex]\Sigma[/tex] étant fini égal à [tex]n[/tex], la permutation des signes [tex]\Sigma[/tex] et [tex]\int[/tex] peut toujours se faire.

On devrait encore pouvoir simplifier cette somme du post #8... Quoique!

Dernière modification par Zebulor (04-02-2019 10:24:44)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#10 01-02-2019 15:28:07

rapidracim
Membre
Inscription : 30-01-2019
Messages : 4

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Bonjour Freddy, j'ai combiner le fait que

[tex]\int_{\frac14}^{\frac34} x^n (1 - x)^n \, dx + \int_0^{\frac14} x^n (1 - x)^n \, dx +  \int_{\frac34}^{1} x^n (1 - x)^n \, dx  = \int_0^1 x^n (1 - x)^n \, dx \tag1[/tex]

avec


[tex]\int_0^{\frac14} x^n (1 - x)^n \, dx = \int_{\frac34}^{1} x^n (1 - x)^n \, dx  [/tex]

Hors ligne

#11 01-02-2019 15:31:33

rapidracim
Membre
Inscription : 30-01-2019
Messages : 4

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Bonjour aviateur, bien vu !

Bonjour Zebulor, peut tu m'eclaricir un peu d'ou vient le [tex]\pi/6[/tex] dans les brones de ton avant dernier post ?

Hors ligne

#12 01-02-2019 16:09:21

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Suite au 1er changement de variable [tex]t=x-1/2[/tex], L'intégrale que tu recherches est la même que :

[tex]\int\limits_{-1/4}^{1/4} (1/4-x^2)^n \, \mathrm{d}x [/tex].

La suite dans mon prochain post, le temps de retrouver mes billes...


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

#13 01-02-2019 16:22:51

Zebulor
Membre expert
Inscription : 21-10-2018
Messages : 2 074

Re : y a t-il moyen de trouver une formule explicite pour cette integrale ?

Voilà : le 2eme changement de variable dans l'intégrale de mon post #12 te donne

[tex]x=1/2*sin(t)[/tex] d'où [tex]t=Arcsin(2x)[/tex]. Par ailleurs : [tex]dx=1/2*cos(t)dt[/tex]

Considére maintenant les bornes de cette intégrale :

Pour [tex]x=-1/4[/tex],  [tex]t=arcsin(2*(-1/4))=-\pi/6[/tex]
Pour [tex]x=+1/4[/tex],  [tex]t=arcsin(2*(1/4))=+\pi/6[/tex]

La nouvelle fonction à intégrer est paire, et après simplications, on trouve l'intégrale que je t 'ai indiquée dans mon post #5. Il y a d'autres changements de variable possibles. Une borne égale à [tex]0[/tex] dans une intégrale est toujours intéressante car elle simplifie un éventuel futur calcul

Dernière modification par Zebulor (03-02-2019 07:28:48)


En matière d'intégrales impropres les intégrales les plus sales sont les plus instructives.

Hors ligne

Pied de page des forums