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#1 17-01-2019 21:22:58

Mounkaila
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Barycentre

Mais j'ai déjà trouvé ça en utilisant la formule du produit scalaire de Leibniz
MG2=5a2+3GC2-GA2-GB2

Dernière modification par Mounkaila (19-01-2019 08:09:22)

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#2 18-01-2019 13:27:42

Black Jack
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Re : Barycentre

Bonjour,

Choix d'un repère d'espace orthonormé tel que :

A(0 ; 0 ; 0) et C(3a ; 0 ; 0)

Chercher les coordonnées des points B tel que AB=4a AC=3a BC=5a ...

On trouve B(0 ; k ; +/- RacineCarrée(16a²-k²)) avec k un réel quelconque tel que |k| <= 4a

On pose alors M(X ; Y ; Z)

et on exprime :

AM² = X² + Y² + X²
BM² = ...
CM² = ...

et puis, à partir de ces résultats, on écrit la relation : MA²+MB²-3MC²=5a²

Et sauf erreur, on arrive à : (X-9a)² + (Y-k)² + (Z +/- RacineCarrée(16a²-k²)) = 81a²

Le lieu de M est donc une famille de sphères de centre de coordonnées(9a ; k ; -/+ RacineCarrée(16a²-k²)) et de rayon 9a

le lieu des centres de ces sphères est sauf erreur un cercle d'équations :

X = 9a
Y²+Z² = 16a²

soit un cercle de centre(9a ; 0 ; 0) et de rayon 4a

Donc le lieu des points M est la famille de sphères dont les centres appartiennent au cercle de centre(9a ; 0 ; 0) (dans le repère décrit) et de rayon 4a, ces sphères ayant un rayon de 9a

Sauf si je me suis planté, ce qui est bien possible.

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#3 18-01-2019 13:49:26

Michel Coste
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Re : Barycentre

Bonjour,

Tu ne nous as pas dit qui est ton $G$. Je subodore que c'est le barycentre de $(A,-1),(B,-1),(C,3)$.
Deuxième remarque, le triangle $ABC$ est rectangle. Ça devrait t'aider pour calculer $GA^2, GB^2, GC^2$.

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#4 18-01-2019 16:12:51

yoshi
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Re : Barycentre

Bonjour,

J'suis pavenu à trouvé MG2=5a2+3GC2-GA2-GB2
Je galère à calculer ses distances
GC2 GA2 GB2

Et si tu commençais par nous en dire en plus dur ce point G ?D'où sort-il ?
Que sait-on sur lui ?

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#5 18-01-2019 17:48:24

Black Jack
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Re : Barycentre

Bonjour,

ABC est un triangle rectangle mais rien ne dit que A et C fixés dans un repère choisi, il ne faut pas considérer tous les points B de l'espace qui conviennent pour avoir AB=4a AC=3a BC=5a

Autrement dit , en faisant tourner le triangle autour de (AC)


Non ?

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#6 18-01-2019 18:08:52

yoshi
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Re : Barycentre

Re,

Et qui dit qu'on va travailler dans l'espace ?
je pense que l'énoncé est incomplet...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#7 18-01-2019 19:53:57

Black Jack
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Re : Barycentre

Bonjour,

"Et qui dit qu'on va travailler dans l'espace ?"

Si il n'y a pas de contraintes indiquant clairement le contraire dans l'énoncé ... cela est obligatoire.

On ne doit jamais ajouter des contraintes dans un énoncé parce que cela facilite le travail ... cela en rend les solutions incomplètes.

Et si l'énoncé n'est pas complet (ce qui est possible), alors il faut le compléter.

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#8 18-01-2019 20:09:35

Mounkaila
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Re : Barycentre

on travaille dans un espace afine
j'ai pris G comme barycentre des point A B C
et I milieu de [AB]
[tex]\vec{IG}=\vec{AB}+3\vec{IC}[/tex]

J'suis en terminale C
Nous n'avons pas encore fait le géométrie dans l'espace

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#9 18-01-2019 21:07:04

yoshi
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Re : Barycentre

Re,

@Black Jack

Black Jack a écrit :
Yoshi a écrit :

"Et qui dit qu'on va travailler dans l'espace ?"

Si il n'y a pas de contraintes indiquant clairement le contraire dans l'énoncé ... cela est obligatoire.

Que voilà une affirmation bien péremptoire...
Je ne l'avais encore jamais entendu, ni lue...
D'ailleurs :

Mounkaila a écrit :

Nous n'avons pas encore fait de géométrie dans l'espace

Bon, quitte à prendre un repère, j'aurais pris [tex](A,\overrightarrow{AI},\frac 2  3\overrightarrow{AC})[/tex]...

j'ai pris G comme barycentre des point A B C

Tu n'es pas précis, je pense que tu voulais dire par exemple [tex]G=Bar\{A(1),B(1),C(1)\}[/tex].

En attendant, j'avais commencé à tester [tex]G=Bar\{A,(5),B(3),C(4)\}[/tex]
Je viens de m'apercevoir que j'avais posé la même quesion que Michel Coste. Je n'avais pas pensé par contre à sa suggestion...
Je reprendrai demain.

@+


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#10 18-01-2019 21:20:35

Mounkaila
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Re : Barycentre

Je voulais envoyer l'image de mon schéma que j'avais fait je ne sais pas par où on envoie les image

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#11 18-01-2019 22:28:49

Michel Coste
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Re : Barycentre

Peu importe qu'on soit dans le plan ou dans l'espace.

L'idée est d'arriver à une égalité $MG^2$ = quelque chose qui ne dépend pas de $M$
Pour cela on écrit $\vec{MA}= \vec{MG}+\vec{GA}$, pareil pour $B$ et $C$ et on porte dans l'équation.
On voit alors quel $G$ convient.

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#12 18-01-2019 23:06:23

Mounkaila
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Re : Barycentre

Je ne comprends pas ?

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#13 19-01-2019 07:31:13

Michel Coste
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Re : Barycentre

$MA^2=MG^2+2\vec{MG}\cdot \vec{GA}+GA^2$.  Tu peux faire ça avec $MB^2$ et $MC^2$. Après, tu choisis $G$ pour qu'une fois cette transformation faite dans l'équation $MA^2+MB^2-3\,MC^2=5a^2$, il ne reste plus que $MG^2$ comme terme dépendant de $M$.
En plus, je t'ai déjà donné la solution concernant le bon choix de $G$, tu le verras si tu lis bien ce que j'ai écrit.

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#14 19-01-2019 10:46:35

Mounkaila
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Re : Barycentre

J'ai même la correction de l'exercice
Il en ont donné les réponses sans les avoir démontrer
Voilà c'est qui est écrit
MG2=-5a2-3GC2+GA2+GB2
[tex]MG^2=81a^2[/tex]
Car
[tex]GA^2=97a^2[/tex]
[tex]GB^2=145a^2[/tex]
[tex]GC^2=52a^2[/tex]

Dernière modification par Mounkaila (19-01-2019 11:07:41)

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#15 19-01-2019 11:27:46

Black Jack
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Re : Barycentre

Bonjour,

Il n'est pas honnête de modifier un énoncé dans le post initial alors qu'il y a déjà eu des réponses sur le sujet risquant ainsi de mettre les réponses en porte-à-faux.

Je rappelle donc le sujet initial qui était :

Bonjour s'il-vous-plaît pouvez-vous m'aider ?
A B C trois points tels que AB=4a AC=3a BC=5a
Déterminer l'ensemble des points M tel que
MA²+MB²-3MC²=5a²

Qui demande bien "l'ensemble de points M" avec les seules contraintes :
A B C trois points tels que AB=4a AC=3a BC=5a
et
MA²+MB²-3MC²=5a²

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#16 19-01-2019 11:49:30

Mounkaila
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Re : Barycentre

Exercice
Soit E un espace affine A; B ; C tels que
AB=4a AC=3a BC=5a
1)Determiner l'ensemble des point W des points M de E tels que
[tex]\vec{MA}+\vec{MB}-2\vec{MC}=\vec{V}[/tex] ([tex]\vec{V}[/tex] est un vecteur donné)
2)Determiner l'ensemble des points W' de M tels que
[tex]\vec{MA}+\vec{MB}-3\vec{MC}=\vec{0}[/tex]
En déduire l'ensemble des points M tels que
[tex]MA^2+MB^2-3MC^2=5a^2[/tex]

Corrections
1)Ensemble des point W des points M de E tels que
[tex]\vec{MA}+\vec{MB}-2\vec{MC}=\vec{V}[/tex]
[tex]\vec{MA}+\vec{MB}-2\vec{MC}=\vec{AB}-2\vec{AC}[/tex]
[tex]\vec{V}[/tex]different de [tex]\vec{AB}-2\vec{AC}[/tex]
W est l'ensemble vide
[tex]\vec{V}[/tex]=[tex]\vec{AB}-2\vec{AC}[/tex] alors W est l'espace afine E
2)Ensemble des points M tels que
[tex]\vec{MA}+\vec{MB}-3\vec{MC}=\vec{0}[/tex]
Équivaut à [tex]\vec{MG}=\vec{0}[/tex]
Ou G=bar (A, 1)(B, 1)(C, -3) ou encore de (I, 2) et (C, -3) où I est milieu de [AB]
W' est donc le singleton {G}
l'ensemble des points M tels que
[tex]MA^2+MB^2-3MC^2=5a^2[/tex]
MG2=-5a2-3GC2+GA2+GB2
[tex]MG^2=81a^2[/tex]
Car [tex]GA^2=97a^2[/tex], [tex]GB^2=145a^2[/tex],[tex]GC^2=52a^2[/tex]
(pour les calcule de GA2 et GB2 on peut considérer l'image de ABC par l'homothetie de centre C et de rapport -2 qui transforme I en G.)
L'ensemble des points M cherché est le cercle de centre G est rayon 9a

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#17 19-01-2019 11:51:36

Mounkaila
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Re : Barycentre

Pour les calcule de GA GB et GC
J'ai pas compris

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#18 19-01-2019 12:36:04

Mounkaila
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Re : Barycentre

I milieu de AB
Le triangle ACI est rectangles en A. AC=3a AI=2a
Donc [tex]IG^2=(3a^2)+(2a)^2=13a^2[/tex]
En pour GA GC ET GB comment faire

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#19 19-01-2019 14:01:17

Michel Coste
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Re : Barycentre

Fais un dessin ! Et si ça ne te suffit pas, tu peux travailler dans un repère orthonormé du plan d'origine $A$ où $B$ a pour coordonnée $(4a,0)$ et $C$ a pour coordonnées $(0,3a)$.

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#20 19-01-2019 16:05:15

Mounkaila
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Re : Barycentre

Je ne connais pas cette méthode pour le moment

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#21 19-01-2019 16:09:32

Mounkaila
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Re : Barycentre

j'ai fait une schéma mais Je ne sais pas comment l'envoyé dans ce forum

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#22 19-01-2019 16:28:09

Michel Coste
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Re : Barycentre

Mounkaila a écrit :

Je ne connais pas cette méthode pour le moment

Tu ne connais pas la méthode qui consiste à calculer avec des coordonnées ???

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#23 19-01-2019 17:40:09

Mounkaila
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Re : Barycentre

Si nous étions dans un repère orthonormé (O i j)
Je pourrais calcul avec les coordonnées
Là nous ne sommes pas dans un repère c'est impossible pour moi de trouver des coordonnées

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#24 19-01-2019 18:27:39

Black Jack
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Re : Barycentre

Bonsoir,

On remarquera que mes solutions correspondent bien aux réponses types... mais en considérant tous les points possibles de l'espace correspondant à l'énoncé ... et pas seulement un trio A, B, C particulier.

En effet, si on calcule, à partir de mes solutions les positions possibles de G(A(1) , B(1) , C(-3)), on arrive à G(9a ; -k ; -/+ RCarrée(16a²-k²)) (pour tous |k| <= 4a)

Ces points G appartiennent bien au cercle que j'ai mentionné d'équations :

X = 9a
Y²+Z² = 16a²

Et les points M sont sur les sphères ayant les points G comme centre et de rayon 9a (correspondant à l'équation : (X-9a)² + (Y-k)² + (Z +/- RacineCarrée(16a²-k²)) = 81a²)

Et donc mes solutions donnent bien GM² = (9a)² = 81a²

Et on peut aussi recalculer à partir de ces solutions :

GA² = 81a² + k² + 16a² - k² = 97 a²
GB² = 81a² + 4k² + 4.(-/+ RCarrée(16a²-k²))²= 81a² + 4k² + 64a² - 4k² = 145a²
GC² = 36a² + k² + 16a² - k² = 52a²

Ma présentation initiale n'utilisait pas le point G ... qui d'ailleurs n'avait pas été défini dans l'énonce donné.

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#25 19-01-2019 18:39:24

Michel Coste
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Re : Barycentre

M'enfin, Mounkaila ?
Lis-tu ce que j'écris avec attention ?
J'ai bien écrit repère ORTHONORMÉ d'origine $A$ !!!!
Tu as bien noté que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ ?
On peut donc choisir le repère orthonormé d'origine $A$ de telle façon que $B$ soit sur l'axe des abscisses (et sur la demi-droite des abscisses positives) et que $C$ soit sur l'axe des ordonnées (et sur la demi-droite des ordonnées positives).

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