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#1 17-01-2019 00:12:47

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 22

Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3)

Bonjour/bonsoir,

dans l'exercice donné ici (18, point 3), on cherche à déterminer l'asymptote en les infinis de la fonction

[tex]h(x)=\frac{x+1}{1+\exp\left(\frac{1}{x}\right)}[/tex]

A la lecture du corrigé, je vois bien que l'on obtient, à l'aide du changement [tex]u=\frac{1}{x}[/tex],

[tex]h(x)=\frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)}[/tex]

mais je ne parviens pas à obtenir

[tex]h(x)=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}+o(u)[/tex].

à partir des "techniques usuelles" (ni autrement d'ailleurs ;)). Desquelles s'agirait-il en particulier?

Merci d'avance,

Christophe

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#2 17-01-2019 06:45:21

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 624

Re : Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3)

Bonjour

  Tu factorises par 2 au dénominateur et tu utilises le dl de 1/(1+v)

F

Hors ligne

#3 17-01-2019 09:53:22

Chris
Membre
Inscription : 16-01-2019
Messages : 22

Re : Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3)

Ok je vois, merci. Du coup j'explicite pour celles et ceux que ça pourrait intéresser (pour alléger l'écriture, j'écris les développements sans expliciter les restes):

la factorisation permet de poser $\displaystyle v=\frac{u}{2}+\frac{u^2}{4}$, et donc $\displaystyle \frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)$.

Puisque $\mathrm{DL}_{0}^{2}\ \displaystyle \frac{1}{1+v}=1-v+v^2$, on obtient 

\begin{align*}
h(x)&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)\\
    &=\frac{1}{2}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2+
    \frac{1}{u}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2\right)\right)\\
    &=\frac{1}{2}-\frac{u}{4}+\frac{1}{2u}-\frac{1}{4}\\
    &=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}
\end{align*}

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