Forum de mathématiques - Bibm@th.net
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#1 17-01-2019 00:12:47
- Chris
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Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3)
Bonjour/bonsoir,
dans l'exercice donné ici (18, point 3), on cherche à déterminer l'asymptote en les infinis de la fonction
[tex]h(x)=\frac{x+1}{1+\exp\left(\frac{1}{x}\right)}[/tex]
A la lecture du corrigé, je vois bien que l'on obtient, à l'aide du changement [tex]u=\frac{1}{x}[/tex],
[tex]h(x)=\frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)}[/tex]
mais je ne parviens pas à obtenir
[tex]h(x)=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}+o(u)[/tex].
à partir des "techniques usuelles" (ni autrement d'ailleurs ;)). Desquelles s'agirait-il en particulier?
Merci d'avance,
Christophe
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#2 17-01-2019 06:45:21
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 033
Re : Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3)
Bonjour
Tu factorises par 2 au dénominateur et tu utilises le dl de 1/(1+v)
F
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#3 17-01-2019 09:53:22
- Chris
- Membre
- Inscription : 16-01-2019
- Messages : 27
Re : Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3)
Ok je vois, merci. Du coup j'explicite pour celles et ceux que ça pourrait intéresser (pour alléger l'écriture, j'écris les développements sans expliciter les restes):
la factorisation permet de poser $\displaystyle v=\frac{u}{2}+\frac{u^2}{4}$, et donc $\displaystyle \frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)$.
Puisque $\mathrm{DL}_{0}^{2}\ \displaystyle \frac{1}{1+v}=1-v+v^2$, on obtient
\begin{align*}
h(x)&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2+
\frac{1}{u}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2\right)\right)\\
&=\frac{1}{2}-\frac{u}{4}+\frac{1}{2u}-\frac{1}{4}\\
&=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}
\end{align*}
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