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#1 16-01-2019 23:12:47
- Chris
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Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3)
Bonjour/bonsoir,
dans l'exercice donné ici (18, point 3), on cherche à déterminer l'asymptote en les infinis de la fonction
[tex]h(x)=\frac{x+1}{1+\exp\left(\frac{1}{x}\right)}[/tex]
A la lecture du corrigé, je vois bien que l'on obtient, à l'aide du changement [tex]u=\frac{1}{x}[/tex],
[tex]h(x)=\frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}+o(u^2)}[/tex]
mais je ne parviens pas à obtenir
[tex]h(x)=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}+o(u)[/tex].
à partir des "techniques usuelles" (ni autrement d'ailleurs ;)). Desquelles s'agirait-il en particulier?
Merci d'avance,
Christophe
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#3 17-01-2019 08:53:22
- Chris
- Membre
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- Messages : 6
Re : Développement asymptotique (biblio. d'exercices, exercice 18.3)
Ok je vois, merci. Du coup j'explicite pour celles et ceux que ça pourrait intéresser (pour alléger l'écriture, j'écris les développements sans expliciter les restes):
la factorisation permet de poser $\displaystyle v=\frac{u}{2}+\frac{u^2}{4}$, et donc $\displaystyle \frac{1+\frac{1}{u}}{2+u+\frac{u^2}{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)$.
Puisque $\mathrm{DL}_{0}^{2}\ \displaystyle \frac{1}{1+v}=1-v+v^2$, on obtient
\begin{align*}
h(x)&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+v}+\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{1+v}\right)\\
&=\frac{1}{2}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2+
\frac{1}{u}\left(1-\frac{u}{2}-\frac{u^2}{4}+\left(\frac{u}{2}\right)^2\right)\right)\\
&=\frac{1}{2}-\frac{u}{4}+\frac{1}{2u}-\frac{1}{4}\\
&=\frac{1}{2u}+\frac{1}{4}-\frac{u}{4}
\end{align*}
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