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#1 11-01-2019 21:34:31

mati
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Question

Bonjour
j'ai l'exercice sivant:
soit $(a_n)_{n \in \mathbb{Z}}$ une suite de réels. On considère la forme linéaire sur $\mathcal{D}(\mathbb{R})$ définie par:
$$
\langle T,\varphi\rangle = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \varphi(n)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \langle \delta_n,\varphi\rangle,
$$
où $\delta_n$ est la distribution de Dirac au point $n$.
La question est: montrer que $T$ est bien définie et que c'est une distribution.

Ce qui me perturbe est qu'on dit d'un côté que $n \in \mathbb{Z}$ et de l'autre on définit une série de $n=-\infty$ à $+\infty$. Il n y a pas une erreur? Car il me semble qu'on devrait définir $T$ par $\langle T,\varphi\rangle = \sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \varphi(n)$.

Ensuite, le fait que $T$ s'écrire en fonction de la distribution de Dirac ne facilite pas la conclusion que $T$ est une distribution?


Merci par avance.

Dernière modification par mati (11-01-2019 21:34:52)

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#2 11-01-2019 22:04:41

Roro
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Re : Question

Bonsoir,

Le fait qu'on écrive $\sum_{n\in \mathbb Z}$ ou $\sum_{n=-\infty}^{+\infty}$ est simplement une question de notation. Il s'agit de la même chose ici.

Pour montrer que $T$ est une distribution tu dois

1) expliquer que la quantité $\langle T,\varphi \rangle$ est bien définie dès que $\varphi$ est dans $\mathcal D(\mathbb R)$ - c'est la première question dont tu parles (indication : ce qui n'est pas évident c'est que les séries en question soient convergentes, l'astuce ici c'est que $\varphi \in \mathcal D(\mathbb R)$...)

2) montrer que l'application ainsi définie $\varphi \mapsto \langle T,\varphi \rangle$ est linéaire continue (ici il faut juste reprendre la définition d'une distribution et voir que ça marche, elle doit être d'ordre 0).

Roro.

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#3 11-01-2019 22:16:35

mati
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Re : Question

Ok. Pour montrer que $T$ est bien définie on commence par: soit $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ alors il existe $a>0$ tel que $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$. Le problème ici est que dans mon cours $a>0$ réel quelconque. Pourquoi $a$ serait entier?

Merci par avance.

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#4 12-01-2019 07:45:24

Roro
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Re : Question

Bonjour,

Il n'y a en effet aucune raison que $a$ soit entier... mais ça ne pose pas de problème car il existe quand même un entier $n$ tel que $|a|\leq n$.

Roro.

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#5 13-01-2019 18:58:33

mati
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Re : Question

Merci c'est compris.
Si on avait plutôt la série $\sum_{n=-\infty}^{+\infty} a_n \varphi(1/n)$ où $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$. Je vois dans la solution qu'on doit poser une condition sur la suite $(a_n)$ pour montrer que la série converge. Pourquoi on ne peut pas utiliser le fait que $Supp(\varphi) \subset [-a,a]$ où $a>0$ pour écrire la série sous la forme d'une somme finie?

Bien cordialement

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#6 13-01-2019 20:31:11

Roro
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Re : Question

Bonsoir,

En effet, si l'énoncé change...

Dans le cas où tu t'intéresses à $\sum_{n\in \mathbb Z} a_n \varphi(1/n)$, le fait que $\varphi$ soit à support borné ne nous aidera pas à dire que la série converge :
Imagine une fonction $\varphi$, à support borné et valant $1$ sur $[-1;1]$. Tu auras alors $\sum_{n\in \mathbb Z} a_n \varphi(1/n) = \sum_{n\in \mathbb Z} a_n$. Il te faut bien une hypothèse pour dire que cette série converge !

Roro.

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#7 13-01-2019 22:16:09

mati
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Re : Question

Je ne comprends pas, car dans le cas du terme général $a_n \varphi(n)$ ausso on peut avoir $\varphi=1$ sur $[-1,1]$. Non?

Cordialement

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#8 14-01-2019 06:44:07

Roro
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Re : Question

Oui mais dans ce dernier cas, tu aurais $\sum_{n\in \mathbb Z} a_n \varphi (n)$ qui serait une somme finie puisque $\varphi(n)$ est nul pour $|n|$ assez grand.

Roro.

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#9 14-01-2019 16:31:47

mati
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Re : Question

D'accord. Mais dans $\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \varphi(1/n)$ si $n$ est grand alors $1/n$ devient petit. Dans ce cas j'ai deux questions:
1- il faux exclure le point $n=0$. Non?
2- Pour montrer que cette application est bien définie comment on doit rédiger les choses? On dit qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme d'une somme finie, et si $\varphi=1$ sur par exemple $[-1,1]$ où de manière générale sur un compacte $[-m,m]$ où $m$ est fixé, alors $\sum_{n \in \mathbb{Z}} a_n \varphi(1/n)= \sum_{-\infty}^{-m} a_n \varphi(1/n)+ \sum_{-m}^m a_n + \sum_{m}^{+\infty} a_n \varphi(1/n)$. Qu'est ce que cela veut dire?

Bien cordialement

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#10 14-01-2019 16:51:37

Roro
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Re : Question

Bonsoir,

Oui, je pense que tu dois exclure $n=0$ de la somme.
Attention, ce n'est pas parce que $\varphi$ est à support dans $[-m,m]$ qu'il faut que tu distingues les indices de ta somme selon $m$ comme tu le fais.

Si tu regardes ce que je t'ai suggéré avant (en prenant $\varphi=1$ sur $[-1,1]$), il est clair que la suite $(a_n)$ doit au minimum vérifier la condition $C$ : $\sum_{n\in \mathbb Z} a_n$ converge.

Reste ensuite à savoir si cette condition $C$ est suffisante pour assurer que pour tout $\varphi$ régulière et à support compact, la série $\sum_{n\in \mathbb Z} a_n \varphi(1/n)$ converge...

Roro.

Dernière modification par Roro (14-01-2019 21:08:46)

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#11 14-01-2019 19:25:56

mati
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Re : Question

Roro c'est bête mais je ne vois pas pourquoi $\varphi=1$ sur $[-1,1]$ implique que la somme est infinie?

Bien cordialement

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#12 14-01-2019 21:11:14

Roro
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Re : Question

Bonsoir,

Prenons une fonction $\varphi$ telle que $\varphi(x)=1$ pour tout $x \in [-1,1]$.

Pour tout $n\in \mathbb Z \setminus \{0\}$, es-tu d'accord que $1/n \in [-1,1]$ ?

Dans ce cas, tu pourras me confirmer que, pour tout $n\in \mathbb Z \setminus \{0\}$ on a $\varphi(1/n)=1$.

La somme en question devient donc
$$\sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n\varphi(1/n) = \sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n$$
qui n'est pas forcément finie !

Roro.

Dernière modification par Roro (14-01-2019 21:12:43)

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#13 14-01-2019 21:42:27

mati
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Re : Question

et une condition suffisante pour que ça converge est par exemple $\sum_{n \in \mathbb{Z}^*} |a_n| < +\infty$. C'est bien ça?

Cordialement

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#14 14-01-2019 22:16:36

Roro
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Re : Question

Pourquoi ajouter des valeurs absolues ?

Si tu supposes que $\sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n$ converge alors, pour $\varphi \in \mathcal C^\infty_0$ tu peux écrire :
$$\exists C>0 ~;~ \forall n \in \mathbb Z \setminus \{0\} \quad |\varphi(1/n)|<C.$$
En prenant par exemple $C = \sup_{[-1,1]} |\varphi|$.

Tu as donc ensuite, pour tout $n\in \mathbb Z$, $|a_n \varphi(1/n)| \leq |a_n|C$ et ainsi
$$\Big| \sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n \varphi(1/n) \Big| \leq C \sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}}|a_n|$$

Roro.

Dernière modification par Roro (15-01-2019 17:30:40)

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#15 14-01-2019 22:17:26

mati
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Re : Question

Ok! Merci beaucoup.

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#16 15-01-2019 09:39:27

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 224

Re : Question

Bonjour,

et hum hum ... Il faut bien des valeurs absolues ! Le passage de  $-C<\varphi(1/n)<C$ à
$$-C \sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n \leq \sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n \varphi(1/n) \leq C \sum_{n\in \mathbb Z \setminus \{0\}} a_n$$
est faux !

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#17 15-01-2019 17:25:09

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 652

Re : Question

Exact... il faut bien des valeurs absolues !!!
Je corrige mon message en rouge.

Roro.

Dernière modification par Roro (15-01-2019 17:25:40)

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