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#1 12-01-2019 20:00:43

ranma
Invité

exercice comparaison de suite

Bonjour à tous.tes

Voici l'énoncé de mon exercice:
[tex] Soit In= \int_0^{1}\ ln(1+x)^{n}dx[/tex]

1. Montrer que : [tex]0<= In<=\int_0^{1}\ \frac{2}{1+x} ln(1+x)^{n}dx[/tex]
En déduire que [tex]In=o(ln(2)^{n})[/tex]

Je n'ai pas d'idée pour commencer et je ne pense pas qu'essayer de calculer l'integrale puisse servir à quelque chose...
Merci d'avance pour une piste.

#2 12-01-2019 20:54:07

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 78

Re : exercice comparaison de suite

Bonsoir,

Avant tout calcul : la fonction à intégrer est bien définie et continue sur [tex][0;1][/tex]. Ton intégrale a donc un sens...

En effet à ce stade l'idée n'est pas de calculer cette intégrale, mais de l'encadrer, afin d'en déduire d'autres résultats dans la suite de l'exercice, à l'aide par exemple d'un passage à la limite quand n tend vers l'infini...

- sa minoration : La positivité de [tex]I_n[/tex] peut se déduire de l'étude du signe de la fonction [tex]x[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex] \ln(1+x)^n[/tex] sur l'intervalle [tex][0;1][/tex]

- sa majoration : l'idée est de majorer la fonction ci dessus par la fonction [tex]x[/tex]--->[tex]\frac{2}{1+x}[/tex][tex]ln(1+x)^n[/tex]

pour x appartient à [tex][0;1][/tex]. Essaie d'abord d'encadrer [tex]\frac{2}{1+x}[/tex] sur [tex][0;1][/tex]

Dernière modification par Zebulor (14-01-2019 22:15:24)

Hors ligne

#3 13-01-2019 10:22:33

ranma
Invité

Re : exercice comparaison de suite

Bonjour zebulor et merci pour votre réponse,

J'ai bien réussis à montrer la positivité de l'intégrale en passant par une petite étude de fonction
Puis pour x dans l'intervalle [0,1] 2/1+x est dans [1,2]
donc [tex] \frac{2}{1+x}> ln(1+x)^{n}[/tex] pour tout x dans [0,1]
ai-je maintenant le droit de dire que [tex]\frac{2}{1+x} > (\frac{2}{1+x})ln(1+x)^{n}>ln(1+x)^{n}[/tex]
car [tex]ln(1+x)^{n}[/tex] est compris entre 0 et 1 et ensuite je passe à l'intégrale ?

merci d'avance

#4 13-01-2019 11:53:36

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 78

Re : exercice comparaison de suite

Bonjour ranma,

- Comme la première question t'invite à trouver un encadrement de [tex]I_{n}[/tex] avec des inégalités au sens large, tu peux les garder dans ta démonstration

- je suppose que ta déduction juste : "donc [tex]\frac{2}{1+x}>ln(1+x)^n[/tex] pour tout x de [tex][0;1][/tex]vient de ton étude de fonction où tu as prouvé que [tex]ln(1+x)^n[/tex] est plus petit ou égal à [tex]1[/tex] sur le segment unité. Il faut préciser "pour tout x de …" parce que cette inégalité n'est pas forcément vraie pour d'autres valeurs de [tex]x[/tex] hors de ce segment…

- comme tu multiplies les membres de tes inégalités par un même nombre positif, tu ne changes pas le sens de ces inégalités.

- dans la mesure où [tex]\frac{2}{1+x}>ln(1+x)^n[/tex] est vraie sur [tex][0;1][/tex] tu peux "passer à l'intégrale" (avec le signe "supérieur ou égal") sachant que les 2 membres de cette inégalité, notamment celui de gauche, sont bien des fonctions continues sur le segment unité, ce qu'il faut préciser à l'écrit... la continuité d'une fonction sur un intervalle [tex][a;b][/tex] doit être vérifiée dès lors que tu passes à son intégration sur ce même intervalle.

On peut aussi voir le problème de cette manière : tu peux te servir des encadrements suivants : [tex]1\le \frac{2}{1+x}[/tex] et [tex]0\le ln(1+x)^n[/tex], toujours pour x appartenant au segment unité.. puis multiplier ces inégalités membre à membre..

Dernière modification par Zebulor (14-01-2019 08:41:49)

Hors ligne

#5 13-01-2019 12:54:26

ranma
Invité

Re : exercice comparaison de suite

Merci encore Zebulor, ma rédaction n'était pas très rigoureuse c'est vrai

Du coup, je suis partie de ce que vous avez proposé :
[tex]
1\le \frac{2}{1+x}
et 0\le ln(1+x)^{n}[/tex]

en multipliant la première ligne par [tex] ln(1+x)^{n} [/tex]on a :
[tex]\forall x \in [0,1], 0 \le ln(1+x)^{n} \le (\frac{2}{1+x})ln(1+x)^{n}[/tex]
puis en integrant car les deux fonctions sont continues sur [0,1] on a:
[tex]\forall x \in [0,1], 0\le \int_0^{1}\ln(1+x)^{n} dx \le \int_0^{1} (\frac{2}{1+x})ln(1+x)^{n} dx[/tex]

Pas de soucis avec la déduction demandée ensuite, on sait que In = o(ln2)^n equivaut à
[tex]lim_{n \to +\infty} \frac{In}{ln(2)^{n}} = 0 [/tex]
et comme on a bien
[tex]lim_{n \to +\infty} In=0 et lim_{n \to +\infty} \frac{1}{ln(2)^{n}}=0 [/tex]alors c'est bon.

Je dois ensuite exprimer In en fonction de In+1 pour ça j'ai commencé par dire que
[tex]In=o((ln2)^{n})
In+1=o((ln2)^{n+1})
In+1=o((ln2)^{n} x (ln2))
In+1=o(In x (ln2))[/tex]

mais du coup je ne réponds pas à la question... si vous avez une autre petite piste pour celle-ci...

#6 13-01-2019 12:56:57

ranma
Invité

Re : exercice comparaison de suite

excusez moi pour ce double post mais mon avant dernière ligne est illisible du coup je recommence:

[tex]In=o((ln2)^{n})[/tex]

[tex]In+1=o((ln2)^{n+1})[/tex]

[tex]In+1=o((ln2)^{n} \times (ln2))[/tex]

[tex]In+1=o(In \times (ln2))[/tex]

#7 13-01-2019 13:51:42

Zebulor
Membre
Inscription : 21-10-2018
Messages : 78

Re : exercice comparaison de suite

re,

pas de souci !
et tu peux même supprimer le quantificateur devant les inégalités d'intégrales, à cet endroit il n'a plus de sens.. puisque les bornes de l'intégrale 0 et 1 sont indiquées dans le signe somme de l'intégrale et que la variable d'intégration est bien [tex]x[/tex]. Cette variable prend alors clairement toutes les valeurs de l'intervalle [tex][0;1][/tex] indiquées dans les bornes inférieures et supérieures du signe intégral..

pour les inégalités membre à membre tu peux encore simplifier un peu, mon idée était : [tex]0 \le {a}[/tex] et [tex]1\le {c}[/tex] implique  [tex]0*1 \le {a}*{c}[/tex], en remplaçant ces variables par celles qui t'intéressent.. c'est ce que je voulais dire par "multiplier membre à membre" des inégalités de même sens..

Pour la suite, je ne me souviens plus de la définition exacte de ce petit o de [tex]ln(2)[/tex]..

Dernière modification par Zebulor (Hier 17:49:56)

Hors ligne

#8 13-01-2019 14:32:26

ranma
Invité

Re : exercice comparaison de suite

c'est vrai je n'y avais pas pensé merci!

un petit o de ln(2) c'est (si j'ai bien compris mon cours) quelque chose de négligeable devant ln(2) et encore plus fort: si Un=o(ln2) alors Un converge vers ln2 (Dans notre cas, si je ne me trompe pas cela veut dire que In converge vers ln(2)^n)

merci encore pour votre aide, je vais essayer de continuer de mon côté

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