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#1 12-01-2019 18:19:58

mati
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Inscription : 15-05-2018
Messages : 71

Théorème de prolongement dans Sobolev

Bonjour
Soit $u \in H^{-m}(\mathbb{R}^n)$. Je souhaite montrer que la forme linéaire continue
$$
\begin{align*}
\mathcal{D}(\mathbb{R}^n) &\to \mathbb{C}\\
\varphi &\to \langle u,\varphi \rangle_{\mathcal{D}',\mathcal{D}}
\end{align*}
$$
se prolonge en une forme linéaire continue
$$
\begin{align*}
H^m(\mathbb{R}^n) &\to \mathbb{C}\\
v &\to \langle u,v \rangle_{H^{-m},H^m}
\end{align*}
$$

On a les éléments suivant: tout d'abord montrer la continuité revient à montrer qu'il existe une constante positive $C>0$ telle que $\forall v \in H^m(\mathbb{R}^n), |\langle u,v\rangle_{H^{-m},H^m} | \leq C ||v||_{H^m}$.

Pour ça on a les deux éléments suivants:
1- Soit $v \in H^m(\mathbb{R}^n)$. Par la densité de $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ dans $H^m(\mathbb{R}^n)$, il existe une suite $(\varphi_j) \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$ telle que $\varphi_j \to v$ dans $H^m(\mathbb{R}^n)$.
2- Soit $u \in H^{-m}(\mathbb{R}^n)$, alors par définition il existe $C>0$ telle que $\forall \varphi_j \in \mathcal{D}(\mathbb{R}^n), |\langle u,\varphi_j\rangle_{D',D}| \leq C ||\varphi_j||_{H^m}$.

Je n'arrive pas à combiner ces éléments pour montrer la continuité et que la première forme se prolonge bien vers la deuxième forme.

Merci pour toute aide.

Dernière modification par mati (12-01-2019 18:20:42)

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