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#1 08-01-2019 11:32:01

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 50

Définition d'une fonction

Bonjour
si on a la fonction $f$ définie par $$
f(x,y)
=
\begin{cases}
1 &: (x,y) \in B,\\
0 &: \mbox{sinon},
\end{cases}
$$ où $B$ est une boule de $\mathbb{R}^2$ de mesure $\dfrac{1}{w},$ où $w > 0$.

Je cherche à écrire la définition de $f\Big(\dfrac{x}{\epsilon}, \dfrac{y}{\epsilon}\Big),$ où $\epsilon > 0$. Je propose ceci, est-ce correct ?

la mesure de B est $1/w$ veut dire que son aire est $1/w$, qui veut dire que $4 \pi R^2= \dfrac{1}{w}$ où $R$ est le rayon de la boule $B$. Qui implique que $R^2=\dfrac{1}{4 *\pi*w}$ donc $R= \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{1}{\pi*w}}$.
Aussi $(x/\epsilon, y/\epsilon) \in B$ implique $\sqrt{\dfrac{x^2}{\epsilon^2}+\dfrac{y^2}{\epsilon^2}} \leq R= \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{1}{\pi*w}}$ qui implique que $\sqrt{x^2 +y^2} \leq \dfrac{1}{2} \dfrac{\epsilon}{\sqrt{\pi * w}}$.

Donc
$$
f(x/\epsilon,y/\epsilon)
=
\begin{cases}
1 &: \sqrt{x^2+y^2} \leq \dfrac{1}{2} \dfrac{\epsilon}{\sqrt{\pi * w}}\\
0 &: \mbox{sinon}.
\end{cases}
$$

Est-ce que tout est correct?

Cordialement

Dernière modification par ccapucine (08-01-2019 12:54:13)

Hors ligne

#2 08-01-2019 18:57:09

D_john
Invité

Re : Définition d'une fonction

Bonsoir,
... et l'aire d'un disque c'est quoi déjà ?
A+

#3 08-01-2019 21:09:13

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 50

Re : Définition d'une fonction

l'air d'un disque c'est $4 \pi R^2$ et ça correspond à la mesure du disque. Non? Vous n'êtes pas d'accord?

Cordialement

Hors ligne

#4 08-01-2019 21:15:44

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 654

Re : Définition d'une fonction

Bonsoir,

Pour compléter l'"indication" de D_john, peux-tu me donner le périmètre d'un disque ?

Sinon, je pense que tu as oublié de mentionner que $B$ était centrée en l'origine.

Autre remarque, si $\Omega \subset \mathbb R^d$ est de mesure $m$ et si $\lambda$ est un réel positif alors $\lambda \Omega$ sera de mesure $\lambda^d m$ (utilise un simple changement de variable dans l'intégrale définissant le volume).

Roro.

Dernière modification par Roro (08-01-2019 21:17:58)

Hors ligne

#5 08-01-2019 22:02:14

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 50

Re : Définition d'une fonction

le périmètre d'un disque est donné par $2*\pi*R$ où $R$ est le rayon du disque. Mais je ne comprends toujours pas où est l'erreur dans ce que j'ai proposé? S'il vous plaît.

Bien cordialement

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#6 09-01-2019 06:44:28

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 654

Re : Définition d'une fonction

Bonjour,

Je pensai que tu avais mélangé aire et périmètre... car l'aire d'un disque n'est pas ce que tu dis !

Roro.

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#7 09-01-2019 09:16:34

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 50

Re : Définition d'une fonction

Bonjour
vous avez raison Roro. L'air d'un disque est $\pi* R^2$. Ainsi la mesure de B est égale à $\dfrac{1}{w}$ veut dire qye $\pi R^2 = \dfrac{1}{w}$ qui implique que $R^2= \dfrac{1}{\pi * w}$.
Donc $(\dfrac{x}{\epsilon},\dfrac{y}{\epsilon}) \in B$ implique que $x^2+y^2 \leq \dfrac{\epsilon^2}{\pi*w}$ et par conséquent
$$
f(\dfrac{x}{\epsilon},\dfrac{y}{\epsilon})
=
\begin{cases}
1 &:x^2+y^2 \leq \dfrac{\epsilon^2}{\pi*w}\\
0 &: \mbox{sinon}
\end{cases}
$$
C'est bien correct maintenant?

Cordialement

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#8 09-01-2019 10:50:55

D_john
Invité

Re : Définition d'une fonction

Salut,

C'est correct dans un plan vectoriel mais pas dans un plan affine...
A+

#9 09-01-2019 10:57:55

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 50

Re : Définition d'une fonction

D_john je ne comprends pas. $B$ est une boule de $\mathbb{R}^2$ donc c'est ok?

Hors ligne

#10 09-01-2019 11:54:02

D_john
Invité

Re : Définition d'une fonction

... dans un plan affine, il existe des boules locales (non centrées sur l'origine) donc tu dois préciser (merci de relire Roro #4).
A+

#11 09-01-2019 12:09:28

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 50

Re : Définition d'une fonction

Oui j'ai lu le message de Roro mais je ne l'ai malheureusement pas bien compris, ni votre dernier message d'ailleurs.
Si on a une boule $B$ de $\mathbb{R}^2$: mesure d'une boule = aire de la boule = $\pi R^2$ uniquement si $B$ est centrée à l'origine? C'est ça? Sinon si elle n'est pas centrée à l'origine alors on a qui? S'il vous plaît.

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#12 09-01-2019 12:55:30

D_john
Invité

Re : Définition d'une fonction

Ok ! Ton problème, c'est que tu ne visualises pas.
L'aire d'une boule de R² n'est pas toujours égale à πR² car ce n'est pas toujours un disque. Dans ton cas, il semble que ce soit un disque et donc sa surface est toujours πR² qu'il soit centré à l'origine ou non.

Mais si tu veux définir un disque du plan affine R² (espace de points) tu dois préciser le centre du disque car il peut être situé n'importe où dans le plan. Par exemple, pour un disque centré en (x0, y0) on a R² = (x - x0)² +(y -y0)² et donc l'expression de B (domaine de définition de f) est fausse.

Désolé si ce n'était pas évident pour toi.
A+
Ta

#13 09-01-2019 20:39:54

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 50

Re : Définition d'une fonction

Bonjour
j'ai encore une question sur cette fonction.
Si on définit la fonction $f$ par
$$
f(\dfrac{x}{\epsilon},\dfrac{y}{\epsilon})
=
\begin{cases}
1 &:\mbox{si} (\dfrac{x}{\epsilon},\dfrac{y}{\epsilon}) \in B + \mathbb{Z}^2\\
0 &: \mbox{sinon}
\end{cases}
$$
où $B$ est une boule de meure $\dfrac{1}{w}$.
Cette fonction est bien périodique? Comment traduire la condition $(\dfrac{x}{\epsilon},\dfrac{y}{\epsilon}) \in B + \mathbb{Z}^2$?

Bien cordialement

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#14 09-01-2019 21:57:54

Roro
Membre régulier
Inscription : 07-10-2007
Messages : 654

Re : Définition d'une fonction

Bonsoir,

As-tu réfléchi deux secondes avant de poser la question ?
Arrivée à un certain niveau, il faut pouvoir maitriser les notations car ici ce n'est qu'une question de notation :
$$(X,Y)\in B(0,R)+\mathbb Z^2 \quad \Longleftrightarrow \quad \exists (p,q)\in \mathbb Z^2~;~ (X-p)^2 + (Y-q)^2 < R^2.$$
Ta fonction semble être périodique en $x$ et en $y$, de période $\varepsilon$ dans ces deux directions.

Roro.

P.S. J'ai imaginé que la boule était ouverte...

Dernière modification par Roro (09-01-2019 21:59:19)

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#15 09-01-2019 22:18:15

D_john
Invité

Re : Définition d'une fonction

Maintenant, il n'y a plus de doute, tu es dans un plan affine.
Si je comprends bien ta définition, il suffit de préciser que les centres des disques sont les points de Z² (ce qui assure la périodicité en x et y) ainsi que le rayon des disques (tous identiques).
A+

#16 10-01-2019 09:50:01

ccapucine
Membre
Inscription : 19-05-2018
Messages : 50

Re : Définition d'une fonction

Merci D_john. On peut donc écrire $f$ comme ceci:
$$
f(\dfrac{x}{\epsilon},\dfrac{y}{\epsilon})
=
\begin{cases}
1 &\mbox{si } (\dfrac{x}{\epsilon}-n)^2 +(\dfrac{y}{\epsilon}-m)^2 \leq \dfrac{1}{\pi \omega}\\
0 & \mbox{ sinon }
\end{cases}
$$
c'est correct?

Cordialement

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#17 10-01-2019 17:32:03

D_john
Invité

Re : Définition d'une fonction

Ce que tu as écrit signifie que les centres des disques restent dans Z². Si c'est ce que tu voulais alors oui c'est correct (pour des disques fermés).
A bientôt.

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