Forum de mathématiques - Bibm@th.net

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 180

edo

Bonjour
on considère le problème suivant
$$
\begin{cases}
y'+a(x)y=b(x)y^k,\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
$$
où $k$ est une constante différente de $1$ et $0$.

Pour résoudre ce problème on commence par diviser sur $y^k$ et pour ça il faut être sûre que $y \neq 0$ et que $y$ ne s'annule pas en certain point. Une idée est de diviser au voisinage d'un point sur lequel $y$ n'est pas nulle.
Est-ce que ce voisinage doit être le voisinage de $x_0$? Dans ce cas si $y_0=0$ qu'est ce qu'on doit dire?

Cordialement

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 566

Re : edo

Bonsoir,

Je crois qu'on t'a déjà répondu à cette question il y a quelques jours !!!
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=11205

On ne va pas recommencer... car c'est exactement le même raisonnement.

En particulier, si $y_0=0$ alors la seule solution est $y=0$ (à condition que les fonctions $a$ et $b$ soient continues).

Roro.

Dernière modification par Roro (09-01-2019 21:04:08)

ccapucine

Membre

Inscription : 19-05-2018

Messages : 180

Re : edo

Bonjour Roro,
non dans le lien je n'avais pas la condition initiale $y(x_0)=y_0$.
Si $y_0=0$ alors la seule solution est $y=0$ à condition que $a$ et $b$ soient continues? Mais la continuité est une condition suffisante pour l'existence et l'unicité dans le cas linéaire mais ici l'edo est non linéaire. Donc pourquoi la continuité de $a$ et $b$ suffit ici?

Bien cordialement

Roro

Membre expert

Inscription : 07-10-2007

Messages : 1 566

Re : edo

Bonsoir,

Qu'est ce que tu as eu comme pré-requis avant de faire ces exercices ?
Effectivement la question n'est pas exactement la même, mais c'est à peu près élémentaire de passer de l'un à l'autre dès que l'on a un peu travaillé avec les equations différentielles !
La linéarité n'était pas utile puisque le seul argument (qui est effectivement un "gros" outil) est le théorème de Cauchy-Lipschitz. Il est vrai dans le cas non linéaire... mais il faut des hypothèses de continuité sur $a$ et $b$ pour l'utiliser.

Roro.