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Gros Caramel

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Structure de Groupe ... [Résolu]

... j'ai une autre question, portant cette fois sur la "mécanique" de démonstration.

Voici l'exo :

Soit G=R un groupe muni d'une opération définie par a~b = racine-cinquième (a^5+b^5).

Soit une fonction f entre G et R tel que f(x) = x^5

On veut montrer que f est un isomorphisme de (G,~) sur (R,+) ... note: ici, + signifie l'addition usuelle dans R

Ma solution :

Il est facile de montrer que

f(a) = a^5
f(b) = b^5
f(a~b) = a^5+b^5

ce qui correspond évidemment à a^5+b^5 dans (R,+).

Mais ces trivialités forment-elles une démonstration de l'isomorphisme?  Suffit-il de démontrer "l'isomorphisme" de a,b pour dire qu'il est prouvé que f est un isomorphisme de (G,~) sur (R,+)?

merci,
GC

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yoshi

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Salut,

Désolé, Isomorphisme, chais plus ce que c'est... Trop loin et pas le courage de retourner voir ce soir...
Plus tard peut-être.

Mais quelqu'un va bien passer par là...

@+

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Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Gros Caramel

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

hehe ... pas grave, merci yoshi

un rafraichissement :

soient deux groupes (G,~) et (H,$) et soient a,b E G

un isomorphisme est une bijection f : G -> H telle que

f(a~b) = f(a) $ f(b)

sur ce bonne nuit
;)

Salut,

Désolé, Isomorphisme, chais plus ce que c'est... Trop loin et pas le courage de retourner voir ce soir...
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Fred

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Salut,

  Ce que tu as démontré, c'est que f est un morphisme de groupes.
Tu n'as pas démontré la partie "iso", à savoir que f est bijective.
Regarde bien ta fonction f, ce n'est pas compliqué...

Fred.

Gros Caramel

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Salut,

  Ce que tu as démontré, c'est que f est un morphisme de groupes.
Tu n'as pas démontré la partie "iso", à savoir que f est bijective.
Regarde bien ta fonction f, ce n'est pas compliqué...

Fred.

J'avoue très humblement ne pas comprendre ... un indice?

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Fred

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Tu dois démontrer que f est bijective.
Mais c'est en fait la fonction x^5 de R dans R.
Elle est bijective (ou bien en appliquant un théorème d'analyse et en faisant l'étude de fonctions,
ou bien car sa réciproque est racine 5-ième de x).

F.

Gros Caramel

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Tu dois démontrer que f est bijective.
Mais c'est en fait la fonction x^5 de R dans R.
Elle est bijective (ou bien en appliquant un théorème d'analyse et en faisant l'étude de fonctions,
ou bien car sa réciproque est racine 5-ième de x).

F.

Bonjour Fred,

Oui, je suis d'accord.  On doit montrer que f est bijective et en montrant que l'inverse de f existe, on prouve ce point puisque

f est bijective == f a un inverse

Ma question porte cependant sur le reste de la demonstration.  Car en plus de montrer que f est bijective, on doit montrer que

f(a~b) = f(a) + f(b)

Suffit-il de montrer que c'est vrai pour a,b E G pour qu'on puisse dire que ca peut s'étendre pour tout element de G?

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FleuVe

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

a et b sont quelconques dans G dans ton énoncé non?

Gros Caramel

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

a et b sont quelconques dans G dans ton énoncé non?

oui.  ce sont deux elements arbitraires de G ... et donc de R (puisque G=R par definition)

Dernière modification par Gros Caramel (05-10-2007 17:13:18)

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FleuVe

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Alors je pense que c'est bon

tu viens de montrer que pour tout a,b € G f(a*b)=f(a)+f(b)

Donc f est un morphisme.

Je pense que c'est juste pour faire la distinction entre les 2 lois des deux groupes ( de ne pas faire l'erreur f(a*b)=f(a)*f(b) ...)

Du moins c'est ce que j'en pense.

Bon courage pour la suite.

Gros Caramel

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Alors je pense que c'est bon

tu viens de montrer que pour tout a,b € G f(a*b)=f(a)+f(b)

Donc f est un morphisme.

Je pense que c'est juste pour faire la distinction entre les 2 lois des deux groupes ( de ne pas faire l'erreur f(a*b)=f(a)*f(b) ...)

Du moins c'est ce que j'en pense.

Bon courage pour la suite.

Justement ... (et je me suis fait prendre plus d'une fois) ... j'ai démontré que f(a*b)=f(a)+f(b) pour a,b, E G ... et non *pour tout* a,b, E G ... enfin je me demande si calculer f(a*b)=f(a)+f(b) est valable *pour tout* a,b

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FleuVe

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Re,

Attend je réflechis bizarre encore ton exo ^^

Fred

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Je ne vois pas où est le problème.

La bonne rédaction est sans doute :
"Soient a et b dans G           ---------------------->Correspond au symbole quelquesoit
On a f(a)=a^5, f(b)=b^5 ce qui entraine  f(a~b)=a^5+b^5=f(a)+f(b).
Ceci prouve que f est un morphisme de (G,~) vers (R,+)."

FleuVe

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Non si c'est bon un moment j'ai eu peur que (G,~)ne soit pas un groupe.
Cela dépend de :"Soit G=R un groupe muni d'une opération définie par a~b = racine-cinquième (a^5+b^5)."

Normalement cela veut dire: Soit (G,~)=(R,~) un groupe muni de la loi définie par: pour tout a,b € G a~b = racine-cinquième (a^5+b^5).

Gros Caramel

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

ok merci à tous

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FleuVe

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

"Soient a et b dans G           ---------------------->Correspond au symbole quelquesoit

Salut Fred,

C'est chaud de definir qq chose avec "soit" je trouve c'est plus logique de dire "pour tout", ou "il existe" avec "soit" on ne sait pas sur quel pied danser.

Par contre dans la demo: Soit a,b € G là ok puisque on sait que ca marche pour tout a,b.

FleuVe

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

En fait pour moi dans le "soit" il n'y a pas la preuve de l'existance.

Donc soient a,b € G / a+b = b+a pour moi ca n'a pas le sens d'une propieté.

non?

Dernière modification par FleuVe (05-10-2007 17:47:53)

Fred

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Re : Structure de Groupe ... [Résolu]

Je ne faisais que rédiger la preuve. D'où l'utilisation de "Soient..."