Forum de mathématiques - Bibm@th.net

rog444

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Chemin dans le plan complexe, et quelques autres questions

Bonjour,

J'ai des questions comme par exemple :

Représenter l'image des chemins paramétrés suivant dans le plan complexe, sans l'aide de la calculatrice:
[tex] \gamma_1 (t) = 2 e^{t+it}[/tex] avec t [tex]\in [0,2 \pi] [/tex]
[tex] \gamma_1 (t) = 2t + it^2 [/tex] avec t [tex] \in [0,1] [/tex]
[tex] \gamma_1 (t) = cos(t)+isin(2t) [/tex] avec t [tex] \in [0,2\pi] [/tex]

et Je n'ai aucune idée de comment faire ça, évidemment ce n'est pas expliqué dans mon cours et je ne trouve pas de ressources là-dessus.

Comment démontrer : [tex]  \sum_\limits{k=0}^{\infty} \frac{z^n}{n}  [/tex] converge en tout point du cercle |z|=1 sauf en z=1. Je sais que la série harmonique diverge donc logiquement ça ne peut pas converger en z=1. Pour les autres points j'ai essayé des critères connus mais j'ai l=1 et donc je ne peux pas conclure.

Cordialement,

aviateur

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Re : Chemin dans le plan complexe, et quelques autres questions

Bonjour
[tex]\sum_\limits{n\in N} z^n/n  [/tex]  utiliser la transformation d'Abel

Dernière modification par aviateur (06-01-2019 21:43:59)

Black Jack

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Re : Chemin dans le plan complexe, et quelques autres questions

Bonjour,

Sauf mauvaise interprétation de ma part, pour le début, j'aurais fait ceci :

[tex]\gamma_1[/tex] = 2.e^(t+it) = 2.e^t*(e^it) = 2.e^t . (cos(t) + i.sin(t))

Re : X = 2.e^t . cos(t)
Im : Y = 2.e^t . sin(t)

Avec t dans [0 ; 2Pi]

Dernière modification par Black Jack (07-01-2019 11:43:12)

rog444

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Re : Chemin dans le plan complexe, et quelques autres questions

Merci; Abel résout mon problème avec la série...

Pour ce qui est des chemins, le problème persiste; malgré votre aide et les transformations d'écriture, BlackJack, je suis tout à fait incapable de tracer sans l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel, ...:
Re : X = 2.e^t . cos(t)
Im : Y = 2.e^t . sin(t)
Avec t dans [0 ; 2Pi]

Michel Coste

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Re : Chemin dans le plan complexe, et quelques autres questions

Bonsoir,

On te demande de "représenter", j'interprète ça comme "donner l'allure".

Pour le deuxième chemin, on voit sans peine un morceau de parabole et pour le troisième, une courbe de Lissajous qui dessine un $\infty$.