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#1 06-12-2018 23:00:11
- Mounkaila
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Exponentielle
Bonsoir s'il-vous-plaît pouvez-vous m'aider à faire cette exercice ?
1. Demontrer que :
[tex]\forall x \in ]0 ; +\infty[, \frac{1}{x+1}<ln(\frac{x+1}{x})<\frac{1}{x}.[/tex]
En déduire que :
[tex]\forall x \in ]0 ; +\infty[, (\frac{x+1}{x})^x<e<(\frac{x+1}{x})^{x+1}.[/tex]
2. Démontrer que :
[tex]\forall n \in $N*$ , \frac{(n+1)^n}{n ! }<e^n<\frac{(n+1)^{n+1}}{n ! }.[/tex]
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#2 06-12-2018 23:47:36
- Fred
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Re : Exponentielle
Bonsoir,
Nous, on veut bien t'aider mais on aimerait bien savoir ce que tu as essayé de faire!
Allez, je te donne une piste pour la première question : et si tu utilisais l'inégalité $\ln(1+u)\leq u$, vraie pour tout $u>-1$?
F.
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#3 07-12-2018 13:04:32
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
Ah c'est plus compliqué à ce que je pensais enfer s'il-vous-plaît pouvez-vous me faire just pour la première question
Just pour vor comment on procède
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#4 07-12-2018 18:06:08
- Black Jack
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Re : Exponentielle
Bonjour,
Si tu ne connais pas la méthode facile indiquée par Fred ...
Petite aide pour démarrer autrement.
Par exemple pour montrer que 1/(x+1) < ln((x+1)/x))
Tu peux étudier les variations de f(x) = 1/(x+1) - ln((x+1)/x))
Et tu devrais pouvoir alors montrer que f(x) < 0 sur ]0 ; +oo[ et donc ...
Dernière modification par Black Jack (07-12-2018 18:07:23)
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#5 07-12-2018 20:43:26
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
Je préfère la méthode facile de Fred mdrr
[tex]ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x}
=>ln(\dfrac{x+1}{x})<\dfrac{1}{x}
[/tex]
Ensuite je ne sais plus comment démontré l'autre inégalités
Dernière modification par Mounkaila (07-12-2018 20:47:35)
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#6 08-12-2018 08:25:09
- Fred
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Re : Exponentielle
Ecris $ \ln( (x+1)/x)=-\ln ( x/(x+1)) $ .
F
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#7 08-12-2018 10:38:20
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
Je ne vois vraiment pas comment je peux la démontrer
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#8 08-12-2018 16:03:16
- Black Jack
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Re : Exponentielle
Je ne vois vraiment pas comment je peux la démontrer
Tu peux toujours faire par la méthode que j'ai suggéré.
Cela demande 3 lignes.
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#9 08-12-2018 19:08:45
- Fred
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Re : Exponentielle
Sinon, $\ln(x/(x+1))=\ln((x+1-1)/(x+1))=\ln(1-1/(x+1))$ et tu peux appliquer l'inégalité $\ln(1+u)\leq u$...
F.
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#10 08-12-2018 20:36:22
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
[tex]f(x)=\dfrac{1}{x+1}-ln(\dfrac{x+1}{x})[/tex]
[tex]f'(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{x(x+1)}[/tex]
[tex]Or \dfrac{1}{x(x+1)}<\dfrac{1}{(x+1)}
[/tex] donc f'(x) <0 la fonction f est strictement décroissante sur pour tout x>0
[tex]
\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=-\infty
[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0[/tex]
Donc pour tout x>0 f(x)<0
[tex]ln(\dfrac{x+1}{x})<\dfrac{1}{x+1}[/tex]
Pour la deuxième inégalités
[tex]g(x)=\dfrac{1}{x}-ln(\dfrac{x+1}{x})[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}-ln(\dfrac{x+1}{x})[/tex] j'ai tout tenté pour lever l'indetermination j'ai pas pu
Dernière modification par Mounkaila (08-12-2018 21:40:09)
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#11 09-12-2018 10:38:31
- Black Jack
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Re : Exponentielle
Bonjour,
Tu dois pouvoir dériver sans erreur.
Je fais le premier ... si tu veux faire l'autre par la même méthode, c'est à toi de le faire.
f(x) = 1/(x+1) - ln((x+1)/x)
f '(x) = -1/(x+1)² + 1/(x.(x+1)) = (-x + x + 1)/(x.(x+1)²) = 1/(x.(x+1)²) > 0 sur R*+ --> f est strictement croissante.
lim(x--> +oo) f(x) = 0
Et des 2 lignes précédentes on conclut que f(x) < 0 sur R*+ --> 1/(x+1) - ln((x+1)/x) < 0
1/(x+1) < ln((x+1)/x)
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#12 09-12-2018 17:33:50
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
Pourquoi vous avez just calculer la limite à plus l'infini pourquoi vous n'avez pas calculé la limites à [tex]0^+[/tex]
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#13 10-12-2018 12:09:52
- Black Jack
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Re : Exponentielle
Bonjour,
Pourquoi vous avez just calculer la limite à plus l'infini pourquoi vous n'avez pas calculé la limites à [tex]0^+[/tex]
Comme f a été démontrée strictement croissante, cela signifie que f(x) est partout inférieure à sa valeur pour x --> +oo
et comme lim(x--> +oo) f(x) = 0, on sait qu'on a f(x) < 0 pour tout x > 0 et c'est suffisant ici pour conclure.
Aucun besoin donc de calculer la lim de f(x) pour x --> 0+
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#14 13-12-2018 12:39:16
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
Merci beaucoup de votre aide
S'il-vous-plaît pouvez-vous m'aider à à faire la deuxième question
Certains me dise qu'il faudrait forcément utiliser les intégrales mais on a pas encore vu les intégrales
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#15 13-12-2018 16:27:40
- Black Jack
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Re : Exponentielle
Bonjour
fin de la question 1 ...
ln((x+1)/x) < 1/x
e^(ln((x+1)/x)) < e^(1/x)
(x+1)/x < e^(1/x)
((x+1)/x)^x < e
---
De manière analogue, à partir de : 1/(x+1) < ln((x+1)/x)
on montre que : e < ((x+1)/x)^(x+1)
Essaie.
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#16 17-12-2018 08:38:53
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
Bonjour silvouplai pouve m'aider pour la deuxième question
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#17 18-12-2018 17:21:34
- Black Jack
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Re : Exponentielle
Bonjour,
Une possibilité pour la 2.
Reprendre le résultat de la question 1b : ((x+1)/x)^x < e et l'appliquer pour x=1, x = 2, x= 3, ... ,x = n
2^1 < e
(3/2)² < e
(4/3)³ < e
...
((n+1)/n)^n < e
Multiplier toutes ces inégalités membre à membre ... et après quelques manipulations assez faciles, on arrive à montrer que (n+1)^n/n! < e^n
---
méthode équivalente en partant de e < ((x+1)/x)^(x+1)
pour montrer que e^n < (n+1)^(n+1)/n!
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#18 18-12-2018 19:08:47
- freddy
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Re : Exponentielle
Salut,
très astucieux !
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#19 18-12-2018 23:11:13
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
En multipliant membre à membre j'aurais ça [tex]((n+1))^n < e^n[/tex]
Mais il en manque le n ! De dessous de l'inégalité
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#20 18-12-2018 23:57:20
- freddy
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Re : Exponentielle
Re,
ben non, regarde : $2\times (\frac{3}{2})^2\times (\frac{4}{3})^3\times (\frac{5}{4})^4=\frac{5^4}{2.3.4}$
Dernière modification par freddy (18-12-2018 23:57:50)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#21 19-12-2018 18:41:50
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
Ah je ne vois vraiment pas comment Demontrer ça
Dernière modification par Mounkaila (19-12-2018 19:10:06)
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#22 19-12-2018 19:20:24
- freddy
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Re : Exponentielle
En multipliant membre à membre j'aurais ça [tex]((n+1))^n < e^n[/tex]
Mais il en manque le n ! De dessous de l'inégalité
Ben non, c'est faux, je t'ai montré comment on fait, je ne peux pas plus.
Désolé !
Dernière modification par freddy (19-12-2018 19:20:38)
De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.
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#23 19-12-2018 21:30:48
- Mounkaila
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Re : Exponentielle
Ah c'est compliqué
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