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#1 06-12-2018 21:00:11

Mounkaila
Membre
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Exponentielle

Bonsoir s'il-vous-plaît pouvez-vous m'aider à faire cette exercice ?
1. Demontrer que :
[tex]\forall  x \in ]0 ; +\infty[,   \frac{1}{x+1}<ln(\frac{x+1}{x})<\frac{1}{x}.[/tex]
En déduire que :
[tex]\forall  x \in ]0 ; +\infty[,   (\frac{x+1}{x})^x<e<(\frac{x+1}{x})^{x+1}.[/tex]
2. Démontrer que :
[tex]\forall  n \in $N*$ ,  \frac{(n+1)^n}{n ! }<e^n<\frac{(n+1)^{n+1}}{n ! }.[/tex]

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#2 06-12-2018 21:47:36

Fred
Administrateur
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Re : Exponentielle

Bonsoir,

  Nous, on veut bien t'aider mais on aimerait bien savoir ce que tu as essayé de faire!
Allez, je te donne une piste pour la première question : et si tu utilisais l'inégalité $\ln(1+u)\leq u$, vraie pour tout $u>-1$?

F.

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#3 07-12-2018 11:04:32

Mounkaila
Membre
Inscription : 20-06-2018
Messages : 14

Re : Exponentielle

Ah c'est plus compliqué à ce que je pensais enfer s'il-vous-plaît pouvez-vous me faire just pour la première question
Just pour vor comment on procède

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#4 07-12-2018 16:06:08

Black Jack
Membre
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Re : Exponentielle

Bonjour,

Si tu ne connais pas la méthode facile indiquée par Fred ...

Petite aide pour démarrer autrement.

Par exemple pour montrer que 1/(x+1) < ln((x+1)/x))

Tu peux étudier les variations de f(x) = 1/(x+1) - ln((x+1)/x))

Et tu devrais pouvoir alors montrer que f(x) < 0 sur ]0 ; +oo[ et donc ...

Dernière modification par Black Jack (07-12-2018 16:07:23)

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#5 07-12-2018 18:43:26

Mounkaila
Membre
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Re : Exponentielle

Je préfère la méthode facile de Fred mdrr
[tex]ln(1+\dfrac{1}{x})<\dfrac{1}{x} 
=>ln(\dfrac{x+1}{x})<\dfrac{1}{x}
[/tex]
Ensuite je ne sais plus comment démontré l'autre inégalités

Dernière modification par Mounkaila (07-12-2018 18:47:35)

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#6 08-12-2018 06:25:09

Fred
Administrateur
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Re : Exponentielle

Ecris  $ \ln( (x+1)/x)=-\ln ( x/(x+1)) $ .

F

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#7 08-12-2018 08:38:20

Mounkaila
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Re : Exponentielle

Je ne vois vraiment pas comment je peux la démontrer

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#8 08-12-2018 14:03:16

Black Jack
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Re : Exponentielle

Mounkaila a écrit :

Je ne vois vraiment pas comment je peux la démontrer

Tu peux toujours faire par la méthode que j'ai suggéré.

Cela demande 3 lignes.

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#9 08-12-2018 17:08:45

Fred
Administrateur
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Re : Exponentielle

Sinon, $\ln(x/(x+1))=\ln((x+1-1)/(x+1))=\ln(1-1/(x+1))$ et tu peux appliquer l'inégalité $\ln(1+u)\leq u$...
F.

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#10 08-12-2018 18:36:22

Mounkaila
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Re : Exponentielle

[tex]f(x)=\dfrac{1}{x+1}-ln(\dfrac{x+1}{x})[/tex]
[tex]f'(x)=-\dfrac{1}{(x+1)^2}+\dfrac{1}{x(x+1)}[/tex]
[tex]Or \dfrac{1}{x(x+1)}<\dfrac{1}{(x+1)}
[/tex] donc f'(x) <0 la fonction f est strictement décroissante sur pour tout x>0
[tex]
\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=-\infty
[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=0[/tex]
Donc pour tout x>0 f(x)<0
[tex]ln(\dfrac{x+1}{x})<\dfrac{1}{x+1}[/tex]
Pour la deuxième inégalités
[tex]g(x)=\dfrac{1}{x}-ln(\dfrac{x+1}{x})[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{1}{x}-ln(\dfrac{x+1}{x})[/tex] j'ai tout tenté pour lever l'indetermination j'ai pas pu

Dernière modification par Mounkaila (08-12-2018 19:40:09)

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#11 09-12-2018 08:38:31

Black Jack
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Re : Exponentielle

Bonjour,

Tu dois pouvoir dériver sans erreur.
Je fais le premier ... si tu veux faire l'autre par la même méthode, c'est à toi de le faire.

f(x) = 1/(x+1) - ln((x+1)/x)
f '(x) = -1/(x+1)² + 1/(x.(x+1)) = (-x + x + 1)/(x.(x+1)²) = 1/(x.(x+1)²) > 0 sur R*+ --> f est strictement croissante.
lim(x--> +oo) f(x) = 0
Et des 2 lignes précédentes on conclut que f(x) < 0 sur R*+ --> 1/(x+1) - ln((x+1)/x) < 0
1/(x+1) < ln((x+1)/x)

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#12 09-12-2018 15:33:50

Mounkaila
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Re : Exponentielle

Pourquoi vous avez just calculer la limite à plus l'infini pourquoi vous n'avez pas calculé la limites à [tex]0^+[/tex]

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#13 10-12-2018 10:09:52

Black Jack
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Re : Exponentielle

Bonjour,

Mounkaila a écrit :

Pourquoi vous avez just calculer la limite à plus l'infini pourquoi vous n'avez pas calculé la limites à [tex]0^+[/tex]

Comme f a été démontrée strictement croissante, cela signifie que f(x) est partout inférieure à sa valeur pour x --> +oo

et comme lim(x--> +oo) f(x) = 0, on sait qu'on a f(x) < 0 pour tout x > 0 et c'est suffisant ici pour conclure.

Aucun besoin donc de calculer la lim de f(x) pour x --> 0+

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#14 13-12-2018 10:39:16

Mounkaila
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Re : Exponentielle

Merci beaucoup de votre aide
S'il-vous-plaît pouvez-vous m'aider à à faire la deuxième question 
Certains me dise qu'il faudrait forcément utiliser les intégrales  mais on a pas encore vu les intégrales

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#15 13-12-2018 14:27:40

Black Jack
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Messages : 63

Re : Exponentielle

Bonjour

fin de la question 1 ...

ln((x+1)/x) < 1/x

e^(ln((x+1)/x)) < e^(1/x)

(x+1)/x < e^(1/x)

((x+1)/x)^x < e
---
De manière analogue, à partir de : 1/(x+1) < ln((x+1)/x)

on montre que : e < ((x+1)/x)^(x+1)

Essaie.

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