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#1 10-12-2018 17:15:26

Mounkaila
Membre
Inscription : 20-06-2018
Messages : 45

Études de fonctions

Bonjours S'il-vous-plaît pouvez-vous m'aider à démarrer
Le repère (O, i, j) est orthogonal. L’unité graphique est égale à 2 cm sur (Oi) et à 15 cm sur (Oj). Soit [tex]f_m[/tex] la famille de fonctions définies par :

[tex]f_m(x)[/tex]=[tex]\dfrac{x^m}{m ! }e^{-x}[/tex] où m est un nombre entier naturel non nul. On désigne par ([tex]C_m[/tex]) la courbe représentative de [tex]f_m[/tex]

1. a) Démontrer par récurrence sur m que :
[tex]\forall m\in N*,(\forall x\in [0; +\infty[, e^x>\dfrac{x^m}{m ! })[/tex]
En déduire que les parties d'abscisses positives des courbes ([tex]C_m[/tex]) sont comprises entre les droites d'équations y=0 et y=1.
b) Calculer alors la limite de [tex]f_m(x)[/tex] quand x tend vers +oo.
2. a) Étudier les variations de ([tex]C_m[/tex]) suivant les valeurs de m.
(On distinguera les cas m = 1, m pair et m impair).
b) Dresser les tableaux de variations correspondant à chaque cas.
3. On désigne par [tex]A_m[/tex] le point de ([tex]C_m[/tex])  dont l'abscisse définit le maximum relatif de ([tex]f_m[/tex])
a) Vérifier que : [tex]\forall m\in N*, f_m-f_{m+1}=f'_{m+1}[/tex]
Étudier la position relative des courbes ([tex]C_m[/tex]) et ([tex]C_{m+1}[/tex]) et démontrer que ces courbes se coupent en O et [tex]A_m[/tex]
b) Étudier la position relative des courbes ([tex]C_m[/tex]) et ([tex]C_{m+2}[/tex]) et démontrer que ces courbes se coupent en O et en un point dont l'abscisse appartient à [m + 1 ; m + 2].
4. Utiliser les résultats précédents pour tracer les courbes ([tex]C_{1}[/tex]).([tex]C_{2}[/tex])  et ([tex]C_{3}[/tex]). On précisera les points d' intersection des courbes que la question précédente permet de connaître, ainsi que les tangentes en O à ces diferentes courbes.

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#2 11-12-2018 10:57:25

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Études de fonctions

Salut,

la récurrence sur $m$ consiste à démarrer avec $m = 1$ par exemple.
Tu vérifies la propriété puis tu continues en vérifiant l'hérédité.

On you !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#3 11-12-2018 11:28:51

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : Études de fonctions

Bonjour,

Petite aide pour démarrer.

1.a)

Soit g(x) = e^x - x^(m+1)/(m+1)!
g'(x) = e^x - (m+1)/(m+1)! * x^m
g'(x) = e^x - x^m/m!

Si e^x - x^m/m! > 0, alors g est croissante.
Et comme g(0) = 1, on a g(x) > 0 pour tout x >= 0

De ce qui précède, on sait donc que :
Si e^x - x^m/m! > 0, alors  e^x - x^(m+1)/(m+1)! > 0

Donc que si e^x > x^m/m! , alors on a aussi e^x > x^(m+1)/(m+1)! (1)

Pour m = 1, on vérifie que e^x > x^1/1! , soit donc que e^x > x (par exemple en étudiant les variations de h(x) = e^x - x (pour x >= 0)

On a donc : e^x > x^m/m! est vrai pour m = 1 et par (1), e^x > x^m/m! est vrai pour tout m de N*

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#4 11-12-2018 11:30:05

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : Études de fonctions

Rebonjour,

Pas vu le message de freddy avant d'envoyer le mien.

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#5 11-12-2018 11:41:20

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Études de fonctions

Black Jack a écrit :

Rebonjour,

Pas vu le message de freddy avant d'envoyer le mien.

Salut,

si tu pouvais coder en Latex (comme le demandeur qui a fait cet effort, raison pour laquelle j'ai répondu), tout le monde, toi compris, y gagnerait en visibilité, merci !
C'est assez simple, facile et finalement, très ludique !
Bon courage !


De la considération des obstacles vient l’échec, des moyens, la réussite.

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#6 11-12-2018 14:45:19

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : Études de fonctions

Bonjour,

Je peux et je sais ... mais j'en ai rarement le courage.

[tex]g(x) = e^x - \frac{x^{m+1}}{(m+1)!} [/tex], c'est plus joli mais n'apporte pas grand chose de plus que g(x) = e^x - x^(m+1)/(m+1)!

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#7 11-12-2018 15:59:11

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 7 457

Re : Études de fonctions

Black Jack a écrit :

Bonjour,

Je peux et je sais ... mais j'en ai rarement le courage.

[tex]g(x) = e^x - \frac{x^{m+1}}{(m+1)!} [/tex], c'est plus joli mais n'apporte pas grand chose de plus que g(x) = e^x - x^(m+1)/(m+1)!

Re,

c'est tout simplement plus agréable à lire. Et quand ça se devient plus velu, la présentation ne complique pas le sujet, bien au contraire.
Pense seulement à ceux qui te lisent ! Tiens, que dirais - tu d'un traité de maths (va voir les articles de Fred dans la bibliothèque) rédigé hors les caractères spéciaux qu'on retrouve grâce à Latex ? Tu en aurais vite assez, non ?


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#8 12-12-2018 07:09:23

Mounkaila
Membre
Inscription : 20-06-2018
Messages : 45

Re : Études de fonctions

Pour m = 1, pour tout x, montrons que [tex]d(x)=e^x -x > 0[/tex]
[tex]d' = e^x -1[/tex]
or [tex]e^x[/tex] monotone croissante sur R, et [tex]e^0 = 1[/tex], donc pour tout [tex]x >0 , d'(x) >0[/tex], donc  d(x) croissante et  [tex]d(0) = 1 \rightarrow  d(x) >0  \rightarrow e^x > x[/tex]
-supposon que [tex]e^x>\dfrac{x^m}{m ! }[/tex] est vrai
Vérifions le au rang m+1
[tex]d_{m+1}(x)=e^x-\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}[/tex] dont la dérivée : [tex]d_m(x)=e^x-\frac{x^m}{m!}[/tex] est positive par hypothèse de récurrence au rang m.
d'où [tex]d_{m+1}(x)[/tex] monotone, croissante sur [tex][0; +\infty][/tex], et [tex]d_1(x)[/tex] étant positive,
Donc [tex]e^x>\dfrac{x^m}{m ! }[/tex]

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#9 12-12-2018 07:22:53

Mounkaila
Membre
Inscription : 20-06-2018
Messages : 45

Re : Études de fonctions

En déduire que les parties d'abscisses positives des courbes ([tex]C_m[/tex]) sont comprises entre les droites d'équations y=0 et y=1.
Je comprends même pas exactement ce qu'il demande d'endeduire

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#10 12-12-2018 10:12:40

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 470

Re : Études de fonctions

Mounkaila a écrit :

En déduire que les parties d'abscisses positives des courbes ([tex]C_m[/tex]) sont comprises entre les droites d'équations y=0 et y=1.
Je comprends même pas exactement ce qu'il demande d'endeduire

Bonjour,

Il faut faire un petit effort, c'est clairement écrit.


On a montré que e^x > x^m/m!

Soit donc que x^m/m! * e^-x < 1

Et avec x >= 0, on a évidemment x^m/m! * e^-x > 0

Donc : [tex]0 \leq \frac{x^m}{m!} e^{-x} < 1[/tex]  (sur [0 ; +oo[)

[tex]0 \leq f_m(x) < 1 [/tex]  (sur [0 ; +oo[ ... donc abscisses positives)

Et comme [tex]C_m[/tex] est la courbe représentative de [tex]f_m [/tex] ...

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