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#1 17-11-2018 20:47:22
- mati
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construction d'une fonction test
Bonjour
j'ai trouvé l'exo suivant: montrer que pour tout $\epsilon > 0$ il est possible de construire une fonction $\varphi_{\epsilon} \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$ telle que
$$
\varphi_{\epsilon}(x)
=
\begin{cases}
1 &: |x| < \dfrac{1}{2-\epsilon}\\
0 &: |x| \geq \dfrac{2}{2-\epsilon}
\end{cases}
$$
Comment on montre qu'il est possible de construire la fonction $\varphi_{\epsilon}$?
Bien cordialement
Dernière modification par mati (17-11-2018 23:44:14)
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#2 18-11-2018 00:08:30
- Michel Coste
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Re : construction d'une fonction test
Bonsoir,
On peut par exemple partir d'une fonction affine par morceaux et la régulariser.
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#3 18-11-2018 20:21:02
- mati
- Membre
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Re : construction d'une fonction test
Cette fonction n'existe pas par le lemme d'Urysohn?
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#4 20-11-2018 19:44:41
- aviateur
- Membre
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Re : construction d'une fonction test
Bonjour
perso je commencerai comme cela:
La fonction définie par [tex]f_0(x)=exp(-1/(1-x^2))[/tex] si |x|<1 et [tex]f_0(x)=0[/tex] sinon. Cette fonction est [tex]C^{\infty}(\R)[/tex]
On pose [tex]a=\int_{\R} f_0(x) dx[/tex] et
[tex]f_1(x)=1/a \int_{-\infty}^ x f_0(u) du[/tex] est une fonction aussi ds [tex]C^{\infty}(\R)[/tex] croissante qui vaut 0 si x<-1 et 1 si x>1.
A partir de [tex]f_1[/tex] on construit avec l'aide d'un changement de variable affine la fonction [tex]\phi_{\epsilon}[/tex] pour x<=0 et pour x>0 on complète [tex]\phi_{\epsilon}[/tex] par symètrie.
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