Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

#1 06-11-2018 12:15:43

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 429

Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Bonjour,

Pour bien comprendre, il vous faut vous reporter à ce sujet : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 427#p72427
Je reprends au post de Black Jack qui suivait le #5 de tibo...

Le 05/11/2018 à  20:15:37, Black Jack a écrit :
tibo a écrit :

Salut,

Cela ne fonctionne que si toutes les racines sont entières.
En effet, si les racines sont 3, 2/3 et 5.
Alors c=10, et 3 ne divise pas 10...

Salut,

Ce ne sont pas les racines qui doivent être entières ... ce sont les coefficients des différentes puissances de x

Je reprends mon exemple : x³ - 16x² - 16x - 17 = 0 (-16, -16 et -17 sont dans Z)

Si il existe des solutions dans Z, elles sont parmi les diviseurs (au signe près de -17)
Donc seules valeurs possibles : -1 , 1 , -17 et 17

... et on peut vérifier que 17 convient ... Ici, les 2 autres racines sont complexes, mais cela n'empêche nullement, le "truc" de fonctionner.

Dans l'exemple que tu donnes, si tu remets l'équation sous la forme x³ + a.x² + bx + c = 0 ... au moins a ou b ne sera pas entier (dans Z).

J'aurais dû préciser ... "pour une équation à coefficients dans Z ... "

Le 05/11/2018 à 20:35:46, Dattier a écrit :

Bonsoir,

@Tibo : cela vient du lemme de Gauss : https://fr.wikipedia.org/wiki/Lemme_de_ … %C3%B4mes)
(il faut que le polynôme soit unitaire, sinon cela ne marche pas)

Ainsi si Q(x) divise P(x) tout 2 unitaires à coeff entier, alors P(x)=Q(x)R(x) avec R à coeff entier.

Bonne soirée.

Le 05/11/2018 à 21:19:08, Black Jack a écrit :

Rebonjour,

Pour être plus complet :

Cas plus général :

Equations : a.x³ + b.x² + c.x + d = 0 (avec a, b, c et d dans Z)

S'il y a des solutions dans Q, elles sont obligatoirement , au signe près dans : [Un diviseur de d]/[Un diviseur de a]

Exemple de tibo :

Soit l'équation 3x³ - 26.x² + 61.x - 30 = 0

|d| = 30 et ses diviseurs sont 1 , 2 , 3 , 5 , 6, 10 , 15 et 30
|a| = 3 est ses diviseurs sont 1 et 3

S'il y a ses solutions dans Q, elles seront (au signe près) obligatoirement dans :  1/1 , 2/1 , 3/1 , 5/1 , 6/1, 10/1 , 15/1 et 30/1
ou bien (au signe près) dans :  1/3 , 2/3 , 3/2 , 5/3 , 6/3, 10/3 , 15/3 et 30/3

Et donc en regroupant et simplifiant, s'il y a des solutions dans Q (ou dans Z),elles seront (au signe près) parmi :

1 , 2 , 3 , 5 , 6, 10 , 15 , 30 ,  1/3 , 2/3 , 3/2 , 5/3 , 10/3

On y retrouve bien les 3 solutions de tibo, soit : 3 , 2/3 et 5

Ceci reste facile mais quand même un peu plus complexe que de se limiter aux solutions dans Z si a = 1 et b, c et d dans Z.

Le 05/11/2018 à 23:48:23, tibo a écrit :

Certes, certes,...
J'avais déjà vu ça en cours (post-bac), mais ça date un peu...

On perd vraiment vite quand on ne pratique pas ^^
_______________________________________________________________________________________________________

A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Le 06/11/2018 à 11:10:51, freddy a écrit :

Hello les gars,

vous êtes sûr qu'on est bien au collège, là ...ou vous nous faites le concours de celui qui est le plus beau ?!!! :-)
_______________________________________________________________________________________________________

Memento Mori ! ...

Le 06/11/2018 à 11:44:34, Black Jack a écrit :

Bonjour,

Pas question de jouer au plus beau, cependant on ne peut que constater que, d'années en années, les programmes se réduisent à peau de chagrin et qu'on néglige d'enseigner des "choses" élémentaires ... comme, entre plein d'autres choses, retrouver les racines dans Z si elles existent de ... autrement qu'en essayant sans la moindre technique (ce qui marche grâce aux exercices édulcorés qu'on propose aujourd'hui).

La "technique" simple pour les retrouver existant (pour une équation du type x³ + a.x² + b.x + c = 0, avec des coefficients entiers), je me suis borné à l'indiquer dans un premier temps en simple info.

Par la suite, par l'intervention de tibo, qui risquait de semer la confusion, je me suis permis d'étendre les explications pour les solutions dans Q pour les équations du type a.x³ + b.x² + c.x + d = 0, avec des coefficients entiers.
Mise au point principalement destinée à répondre aux interrogations de tibo ... même si elles dépassent le cadre collège-lycée (du moins avec les programmes actuels.)

Pour ma part, mais cela remonte à plusieurs décennies, cela faisait partie du programme de Seconde (pas en France).
Mais ce temps ne reviendra plus et on continuera à devoir faire 1 à 2 ans de prépa pour combler les lacunes accumulées dans le Secondaire avant de pouvoir aborder du supérieur sérieux.

Si mon message n'est pas dans la ligne du site, ne pas hésiter à le supprimer.

Le 06/11//2018 à 11:59:51, freddy a écrit :

Re,

je pense que tous ces développements, très, très intéressants en soi, auraient gagné à figurer dans le café mathématique, le demandeur doit être un peu perdu. A mon avis, il ne sait même pas ce qu'est l'ensemble $Z$ ni même $Q$ d'ailleurs. Et notre objectif est d'aider, pas de noyer.

Moi aussi, j'avais appris en classe de troisième des astuces pratiques sur la résolution des équations du second degré (je pense que j'ai tout oublié), mais c'était à une époque où seuls 15 % d'une classe d'âge arrivaient au bachot, pas 80  %.

Bon courage !
_______________________________________________________________________________________________________

Memento Mori ! ...


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#2 06-11-2018 12:28:50

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 341
Site Web

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Bonjour,

Je voulais remercier Black Jack pour le partage, en effet je ne connaissais pas cette propriété simple mais qui peut s'averrer trés utile.

En fait sans passer par le lemme de Gauss, et plus simplement si P(x) in A[x] et (A anneau unitaire) alors le quotient de P(x) par Q(x) (unitaire dans A[x]) est dans A[x].

Donc pas besoin d'avoir P(x) unitaire.

Lemme de Black Jack :
Si $P(x)=a_nx^n+...+a_0$, dans $\mathbb Z[x]$, avec une racine $c$ entière et non nul, alors $c | a_i$ (avec $a_i$ le plus petit $i$, tel que $a_i$ non nul). 

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (06-11-2018 12:47:34)


Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

Hors ligne

#3 06-11-2018 14:18:29

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 46

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Black Jack dit bien plus que ça, puisqu'il parle des racines rationnelles d'un polynômes à coefficients entiers. Je me permets d'ajouter un petit complément.

Soit [tex]A=a_nX^n+\cdots+a_0[/tex] un polynôme à coefficients entiers avec [tex]a_na_0\neq 0[/tex]. Si [tex]p/q[/tex] est une racine rationnelle de [tex]A[/tex] (avec [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] entiers premiers entre eux), alors [tex]p[/tex] divise [tex]a_0[/tex] et [tex]q[/tex] divise [tex]a_n[/tex]; de plus, le quotient de la division de [tex]A[/tex] par [tex]qX-p[/tex] est à coefficients entiers.

Et un petit exercice

Soit [tex]A=6X^3+13X^2-22X-8[/tex]. Calculez [tex]A(-2), A(-1), A(1), A(2)[/tex]. Trouvez toutes les racines rationnelles de [tex]A[/tex].
---------------------------------------------------------------------------
[EDIT]@Yoshi
Cher intervenant, je me permets de vous demander de bien vouloir vous conformer à nos
Règles

L'objectif de BibM@th est de créer un lieu d'échange, d'entraide, d'information ouvert à tous. Les utilisateurs sont invités à faire de ce forum un moyen de communication convivial, ouvert. Tout message se doit donc de contenir les formules de "politesse" en usage dans les rapports sociaux : Bonjour, (Bonsoir, Salut), s'il vous plaît, merci...

Comme si cela ne suffisait pas, à chaque réponse vous avez ceci sous les yeux :
181023093911210953.png

Merci d'avance.

Dernière modification par yoshi (06-11-2018 16:23:33)

Hors ligne

#4 07-11-2018 08:09:36

Black Jack
Membre
Inscription : 15-12-2017
Messages : 41

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Bonjour,

Oui,  le "truc" énoncé marche quel que soit le degré du polynôme.

Exemple pour une équation du 4 eme degré :

21x^4 + 25x³ + 24x²+3x-1 = 0

Diviseurs de |21| : 1 , 3 , 7 , 21
Diviseurs de |-1| : 1

Les solutions dans Q si elles existent, sont, au signe près, parmi : 1/1 = 1 ; 1/3 ; 1/7 ; 1/21

Et on peut vérifier que les solutions : 1/7 et -1/3 vérifient bien l'équation.

Dernière modification par Black Jack (07-11-2018 08:10:03)

Hors ligne

#5 07-11-2018 08:57:27

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 46

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Bonjour, s'il vous plait.

Je corrige mon exercice sur les racines rationnelles de [tex]A=6X^3+13X^2-22X-8[/tex].

Texte caché

On calcule [tex]A(1)=-11, A(-1)=21[/tex], [tex]A(2)[/tex] et [tex]A(-2)[/tex] qui sont non nuls.

Les racines rationnelles sont de la forme [tex]\dfrac{p}{q}[/tex] avec [tex]p[/tex] et [tex]q[/tex] premiers entre eux, [tex]q[/tex] parmi [tex]1,2,3,6[/tex] (les diviseurs positifs de [tex]6[/tex]), [tex]p[/tex] parmi [tex]\pm1,\pm2,\pm4,\pm8[/tex] (les diviseurs de [tex]8[/tex]).
On sait que [tex]1,-1,2,-2[/tex] ne sont pas racines de [tex]A[/tex].
On sait aussi que si [tex]\dfrac{p}{q}[/tex] est une racine rationnelle de [tex]A[/tex] avec  [tex] p[/tex] et [tex]q[/tex] premiers entre eux, alors [tex]qX-p[/tex] divise [tex]A[/tex] dans [tex]\mathbb Z[X][/tex] et donc, pour tout entier [tex]m[/tex], [tex]qm-p[/tex] divise [tex]A(m)[/tex].
En particulier ici, pour [tex]m=1[/tex], [tex]q-p[/tex] divise [tex]11[/tex]. Ça ne laisse comme possibilités que [tex]\dfrac12, \dfrac23, \dfrac43, \dfrac{-8}{3}[/tex].
Pour [tex]m=-1[/tex], on trouve que [tex]q+p[/tex] divise [tex]21[/tex]. Il ne reste plus que [tex]\dfrac12[/tex] et [tex]\dfrac43[/tex]. On essaie en faisant la division par la méthode de Horner.

[tex] \begin{array}{c|cccc}
&6&13&-22&-8\\
\hline
\frac12&6&16&-14&-15
\end{array}[/tex]

[tex] \begin{array}{c|cccc}
&6&13&-22&-8\\
\hline
\frac43&6&21&6&0
\end{array}[/tex]

[tex]\dfrac12[/tex] ne marche pas, seul [tex]\dfrac43[/tex] est racine rationnelle de [tex]A[/tex] et le quotient de [tex]A[/tex] par  [tex]3X-4[/tex] est [tex]2X^2+7X+2[/tex].

Merci, au revoir.

Hors ligne

#6 07-11-2018 14:02:20

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 46

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Bonjour, s'il vous plait.

Traitons en détail l'exemple du polynôme [tex]P[/tex] de degré 4 de Black Jack. Comme ce dernier l'a écrit, on a [tex]p=\pm1[/tex] et les possibilités pour [tex]q[/tex] sont [tex]1,3,7,21[/tex]. On commence par calculer [tex]P(1)=72[/tex] et [tex]P(-1)=16[/tex], ce qui montre que [tex]1[/tex] et [tex]-1[/tex] ne sont pas racines, que [tex]q-p[/tex] doit diviser [tex]72[/tex] et [tex]q+p[/tex] doit diviser [tex]16[/tex]. Ceci élimine [tex]\dfrac{-1}7, \dfrac{1}{21}, \dfrac{-1}{21}[/tex].  Testons [tex]\dfrac13[/tex].

[tex]\begin{array}{c|ccccc}
&21&25&24&3&-1\\
\hline
\frac13&21&32&&&
\end{array}[/tex]

Pas besoin d'aller plus loin, ça ne marche pas car [tex]32[/tex] n'est pas divisible par [tex]3[/tex]. Passons à [tex]\dfrac{-1}3[/tex].

[tex]\begin{array}{c|ccccc}
&21&25&24&3&-1\\
\hline
\frac{-1}3&21&18&18&-3&0
\end{array}[/tex]

On a bien une racine. Puis essayons [tex]\dfrac17[/tex] sur le quotient par [tex]3x+1[/tex].

[tex]\begin{array}{c|cccc}
&7&6&6&-1\\
\hline
\frac17&7&7&7&0
\end{array}[/tex]

Une autre racine, et la factorisation [tex](3x+1)(7x-1)(x^2+x+1)[/tex].

Merci, au revoir.

Hors ligne

#7 07-11-2018 15:22:32

freddy
Membre chevronné
Lieu : Paris
Inscription : 27-03-2009
Messages : 6 294

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Salut Michel Lacoste,

tu n'es pas obligé de dire "s'il vous plait" après nous avoir salués poliment, c'est réservé à ceux qui demandent de l'aide, tout aussi poliment.

Dans la même veine, "merci" ne sert à rien, sauf si tu sous - entends : "Merci d'avoir pris le temps de me lire et de chercher à me comprendre". Dans ce cas, on t'en prie, ce fut un plaisir.

En revanche, ton "au revoir" est sympathique et de bon aloi, on sait que tu vas revenir, on se réjouit, on est content :-)

PS : ce forum est assez sympa, franchement convivial avec des intervenants réguliers et de bonne volonté, ce serait dommage de le gâcher par un esprit aussi mauvais que le cerveau est brillant, comme on peut le voir sur d'autres forums dont je tairais les noms.
Je compte sur toi, merci :-)

Dernière modification par freddy (07-11-2018 15:59:33)


Memento Mori ! ...

Hors ligne

#8 07-11-2018 15:42:27

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 46

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

freddy a écrit :

Salut Michel Lacoste,

Bonjour, s'il vous plait,

pourriez-vous éviter d'écorcher mon nom ?

Merci, au revoir.

Hors ligne

#9 08-11-2018 11:41:37

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 341
Site Web

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Bonjour,

M.Coste est quelqu'un de trés malin, il lui suffirait de devenir aimable, pour tendre vers l'intelligence, et faire de lui un grand savant.
Aprés on a tous nos limites, et il semblerait que la sienne soit du côté du savoir vivre, tout en étant excellent en orthographe.

Bonne journée.


Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

Hors ligne

#10 08-11-2018 12:44:06

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 46

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Le premier savoir vivre sur un forum mathématique, c'est le sérieux scientifique (démontrer ce qu'on affirme, prendre en compte ce que les autres intervenants écrivent) et le soin qu'on apporte à ce qu'on y écrit. C'est malheureusement loin d'être respecté par certains fanas du "savoir-vivre".
Les formules de politesse, assez formelles, ne sont ni une nécessité, ni une garantie pour la bonne tenue d'un forum.
Il n'y a qu'à voir les forums anglo-saxons comme MathOverflow ou Mathematics Stack Exhange.

Dernière modification par Michel Coste (08-11-2018 13:44:24)

Hors ligne

#11 08-11-2018 12:50:32

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 429

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Bonjour,

Les formules de politesse, assez formelles, ne sont ni une nécessité, ni une garantie pour la bonne bonne tenue d'un forum.

Peut-être bien...
Ça n'est pas une condition suffisante, on est d'accord.
Cela dit, lorsque je m'inscris sur un forum, moi, je m'enquiers de ses règles de fonctionnement et je les respecte.
Dans le cas contraire, si je veux m'y comporter que selon ma propre vision des choses, je n'y vais pas...

@+


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

Hors ligne

#12 08-11-2018 17:08:56

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 341
Site Web

Re : Résolution d'une équation du 3e degré : évolution des méthodes...

Bonsoir,


Michel Coste a écrit :

Les formules de politesse, assez formelles, ne sont ni une nécessité, ni une garantie pour la bonne tenue d'un forum.

Alors pourquoi cette obsession pour l'orthographe, alors même que le sens n'est nullement altéré ?

Je rappelle que les maths, ou le raisonnement en général repose sur des régles, qu'il n'y a pas plus grande nécéssité à suivre des régles que lorsque l'homme vie en société, en d'autre termes ce que je veux dire, c'est que le raisonnement est l'arrière petit fils de la volonté de vivre ensemble.

Ou aussi sans respect du savoir vivre, pas de vivre ensemble, donc pas de société, donc pas de science en particulier pas de maths.


Bonne soirée.

Dernière modification par Dattier (08-11-2018 17:41:46)


Raisonnement exact : A est exacte si avec 10 exemples et pas de contre-exemples connus des concernés

Hors ligne

Réponse rapide

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante ?28 - 20
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Pied de page des forums