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#1 06-11-2018 15:43:28

Dattier
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Atteindre les grands entier premier par les polynômes.

Bonjour,

Dans cette discussion, nous allons voir qu'il est inutile d'essayer d'avoir des grands entiers premiers par l'itération de fonction polynôme à coefficients entiers.


Nous allons voir 2 résultats :

1/ Si $P \in \mathbb Z[x]$ non constant, tel que $\forall p$ premier, $P(p)$ premier alors $P$ est l'identité.

2/ Si $P \in \mathbb Z[x]$ non constant, tel que $\exists p$ premier, $\forall n \in \mathbb N, P^n(p)$ premier, alors :
$P$ est l'identité ou $P$ est pris dans une boucle finie.


Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (06-11-2018 15:47:37)


La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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#2 06-11-2018 16:15:45

Dattier
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Re : Atteindre les grands entier premier par les polynômes.

Pour ce faire nous allons utiliser le lemme suivant :

Lemme fondamental de Dattier :
$\forall P \in \mathbb Z[x], p\in \mathbb N$ tel que $(P^n(p))_n$ soit injective, alors :
il existe $n \in \mathbb N$ tel que $\text{pgcd}(n!,P^n(p))>1$.

Dernière modification par Dattier (06-11-2018 16:30:28)


La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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#3 08-11-2018 18:05:23

Dattier
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Re : Atteindre les grands entier premier par les polynômes.

Bonsoir,

Réponse pour le 1/ : https://artofproblemsolving.com/community/c6h140291

Bonne soirée.


La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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