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Rahmani

Invité

Somme des entier naturel

Bonsoir !

j'ai souvent entendu parler de la fameuse égalité selon laquelle la somme des entier naturel est  =  -1/12.
si possible j'aimerais savoir si cette égalité  est fausse ?

Merci d'avance !

Michel Coste

Membre

Inscription : 05-10-2018

Messages : 1 114

Re : Somme des entier naturel

Il est clair que la limite de [tex]S_n=1+2+\cdots+n=n(n+1)/2[/tex] quand [tex] n[/tex] tend vers l'infini est égale à [tex]+\infty[/tex] et pas à [tex]-1/12[/tex], n'est-ce pas ?

tibo

Membre expert

Inscription : 23-01-2008

Messages : 1 097

Re : Somme des entier naturel

Salut,

En effet, il est faux de dire que la somme de tous les entiers naturels est égal à $-\dfrac{1}{12}$.

La confusion vient que fait que la fonction $Zeta$ de Riemman peut être définie par la formule
$\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty{\frac1{n^s}} = 1 + \frac1{2^s} + \frac1{3^s} + \frac1{4^s} + \cdots$.
Cette formule ne fonctionne que pour les nombres complexes de partie imaginaire strictement supérieure à 1.
Mais il est possible de prolonger $\zeta$ sur tout $\mathbb{C}-\{1\}$.
Et notamment, on peut montrer que $\zeta(-1)=-\dfrac{1}{12}$.

De plus si on remplace $s$ par $-1$ dans la formule, on tombe sur la somme de tous les entiers, d'où le mythe de cette propriété farfelue.
Mais il est bien entendu interdit de faire ça, la somme étant divergente pour $s=-1$.

Pour en savoir plus, je conseille l'excellente vidéo d'El Jj :  Deux (deux ?) minutes pour... l'hypothèse de Riemann.

Attention, sur internet, on trouve un tas de "démonstrations simples" qui montrent que la somme de tous les entiers vaut $-\dfrac{1}{12}$. Elles sont toutes fausses.

C'est très bien expliqué dans les vidéos de Science4All suivantes :
- 1+2+4+8+16+... = -1 ??? Infini 4
- 1+2+3+4+5+... = -1/12 ??? Infini 5
- La supersommation linéaire, stable et régulière | Hardcore 3
(Préparez vos cachets d'aspirine pour la dernière vidéo.)

Dernière modification par tibo (03-11-2018 01:08:41)

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A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

Rahmani

Invité

Re : Somme des entier naturel

Merci beaucoup pour vos repenses.
tibo merci pour les videos, je crois avoir compris !