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#1 01-11-2018 00:26:20

viennux
Membre
Inscription : 01-11-2018
Messages : 4

Divergence de la suite sin(n)

bonjour,

je suis bloquée sur le dernier exercice de ma fiche et j'aurais besoin d'aide svp :

On considère la suite (Un) définie pour tout entier n par Un= sin(n) et l un réel
En raisonnant par l'absurde et en utilisant l'intervalle ouvert l- 1/4; l+1/4. : démontrer que la suite (Un) ne converge pas vers l

J'ai réfléchit et je pensais montrer que cette propriété (que l'on nommerait avant) est vraie (soit elle ne converge pas) puis que le contraire est aussi vrai (soit elle converge) et donc montrer la contradiction.
Cependant, je ne sais pas comment m'y prendre algébriquement.
comment doit on utiliser sin(n),  sachant qu'elle est périodique de période 2PI

merci d'avance

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#2 01-11-2018 17:47:19

gruel
Invité

Re : Divergence de la suite sin(n)

BONSOIR,

Un+1=sin(n+1) =sin(n)cos(1)+cos(n)sin(1)
si un converge vers I alors Un+1/Un tend vers 1
or Un+1/Un=cos1+sin1/tg n =1 implique tg n=sin1/(1-Cos1)
tg(n)=sin(n)/sqrt(1-cos²(n)) et en posant sin(n)=I il vient I/sqrt(1-I²)=sin1/(1-Cos1) d'où I=+/-sin1/sqrt(2-2*cos1)=+/-0,877
donc Un ne peut pas converger vers |I | <  1/4

Dernière modification par yoshi (01-11-2018 17:50:08)

#3 01-11-2018 18:53:49

viennux
Membre
Inscription : 01-11-2018
Messages : 4

Re : Divergence de la suite sin(n)

bonsoir, merci bcp pour votre réponse mais je ne vois pas ou est le raisonnement par l'absurde vu que la on a juste montrer qu'elle ne converge pas, il faudrait pas montrer la contradiction?

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#4 01-11-2018 18:58:41

viennux
Membre
Inscription : 01-11-2018
Messages : 4

Re : Divergence de la suite sin(n)

par ailleurs je n'est pas compris pourquoi on utilise la tangente

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#5 02-11-2018 14:54:38

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 5 103

Re : Divergence de la suite sin(n)

Bonjour Viennux,
 
  Il me semble que Gruel a utilisé un raisonnement par l'absurde car il a commencé par "supposons que $(u_n)$ converge vers $\ell$").
Ensuite, je n'ai pas suivi les détails de son raisonnement mais il me semble simplement qu'il prouve que $\ell=\pm\sin(1)$.

De toutes les façons, ton exercice n'est pas facile (à mon avis, trop dur pour le lycée). Voici un moyen pas trop compliqué de s'en sortir, mais qui utilise des formules de trigonométrie que l'on n'apprend plus au lycée me semble-t-il.
Supposons donc que $(u_n)$ converge vers $\ell$. En utilisant les formules d'addition pour les fonctions trigonométrique (cf cette page), on a

$$u_{n+1}+u_{n-1}=\sin(n+1)+\sin(n-1)=2\sin(n)\cos(1).$$

En passant à la limite, on trouve

$$2\ell=2\ell\cos(1).$$

Puisque $\cos(1)\neq 0$, on en déduit que $\ell=0$.

Mais on a aussi
$$\sin(n+1)=\sin(n)\cos 1+\cos(n)\sin (1)$$
ce qui donne
$$\cos^2(n)\sin^2(1)=\left(\sin(n+1)-\sin (n)\cos 1\right)^2.$$
Par la relation de Pythagore $\cos^2(n)=1-\sin^2(n)$ et donc
$$(1-\sin^2(n))\sin^2(1)=\left(\sin(n+1)-\sin (n)\cos 1\right)^2.$$
On passe à la limite dans cette égalité, et on trouve
$$\sin^2(1)=0$$
ce qui est faux.

L'hypothèse de départ est donc fausse, et la suite $(u_n)$ est divergente.

F.

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#6 02-11-2018 15:21:48

viennux
Membre
Inscription : 01-11-2018
Messages : 4

Re : Divergence de la suite sin(n)

merci

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#7 02-11-2018 16:57:49

D_john
Invité

Re : Divergence de la suite sin(n)

Salut à tous,

Une approche un peu plus visuelle...

Supposons que (un) converge vers L. Alors, à partir d’un certain rang (disons N), tous ses termes sont dans l’intervalle DN = ] L-1/4, L+1/4 [, et en particulier, les 6 termes qui suivent sin(N).

Pour établir la contradiction, il "suffit" de prouver que l’un d’eux n’appartient pas à DN, ce qui est évident avec un petit schéma du cercle trigonométrique. Une preuve assez facile à établir (niveau lycée ?) repose sur arcsin(1/4) = 0.2527 rad.
Mais viennux doit aussi chercher un peu...

#8 08-11-2018 12:44:30

D_john
Invité

Re : Divergence de la suite sin(n)

Salut à tous,

@ yoshi
Finalement, ce Pb. c'est du niveau lycée ou pas ?
En voici une image :
181108011404619913.png

... et par la même occasion, je précise #7 :
La preuve repose sur 1/2 = sin(Pi/6) qui donne Pi/3 comme plus grand arc intercepté par l'intervalle centré sur L = 3/4.

@ viennux
Merci d'avance pour le retour de la solution.

#9 08-11-2018 13:08:14

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 12 429

Re : Divergence de la suite sin(n)

Bonjour,

Apparemment, d'après Fred les formules d'addition n'y sont plus enseignées dans ce cas, non.
le cercle trigo oui quand même, l'arc tangente aussi...
Si on n'emploie pas la méthode de Gruel, techniquement, on peut le voir en Lycée.
Après tout dépend du niveau d'exigence déterminé lors de l'élaboration des programmes...
Il y a bien longtemps que j'ai cru remarquer, que, au fil des années des réformes et des changements de programme, à chaque fois qu'un point précis gêne suffisamment des élèves, hop, il passe à la trappe !
Lorsque j'ai quitté le CM2, il y a un temps certain, il me semble que tous ceux de ma classe maîtrisait la division avec diviseur décimal : aujourd'hui, il faut attendre la 5e...
Les calculs de géométrie analytique ont pratiquement disparus des programmes de 3e...
En 5e, j'avais enseigné la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers, les PPCM, les PGCD et les problèmes les utilisant...
Disparus (à part de vagues notions en 3e) !
En 4e, j'avais enseigné les calculs de Barycentre. Disparu aussi (mais ce n'est pas un mal), par contre, cela n'est plus non plus dans les progs de Lycée...
Et j'ai beaucoup d'autres exemples... Black Jack va apprécier.

@+
C'est dommage


Arx Tarpeia Capitoli proxima...

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#10 08-11-2018 19:01:49

tibo
Membre actif
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 051

Re : Divergence de la suite sin(n)

Salut,

Les formules trigonométriques sont toujours enseignées au lycée, en première S comme application du produit scalaire, du moins jusqu'à cette année.
Je ne crois pas les avoir vu dans les nouveaux programmes (malheureusement).

Néanmoins, cela reste un exercice très difficile pour le niveau lycée.
Avec des questions intermédiaires pour guider l'élève, c'est jouable, mais sans pas vraiment...

Dernière modification par tibo (08-11-2018 22:56:33)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#11 08-11-2018 19:21:13

D_john
Invité

Re : Divergence de la suite sin(n)

Bonsoir,

merci à tibo et yoshi pour ces commentaires.
Nous attendons tous la correction avec impatience... Qui sait, il y a peut-être qqchose à apprendre.
A+

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