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#1 19-10-2018 09:57:05

mati
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Distributions et L^p

Bonjour
j'ai l'exo suivant:
on pose $f(x)= \ln(|x|)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^2 \setminus  {0}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$.
On sait que $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$ et que $\Delta f=0$ au sens ckassiqtz, et que donc $\Delta f =0$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.

Comment on démontre que $f \in L^p_{loc}(\mathbb{R}^2)$ pour tout $p<+\infty$ et que $\partial_i f \in L^p_{loc}(\mathbb{R}^2)$ pour $i=1,2$ quand $1 \leq p < 2$?


Merci par avance pour toute aide.

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#2 19-10-2018 17:56:37

aviateur
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Inscription : 19-02-2017
Messages : 189

Re : Distributions et L^p

Bonjour

Pour répondre à la question, le seul problème est en x=0.
Donc il suffit de voir si |f|^p est intégrale par exemple sur la boule unité.
En passant en coordonnées polaires, cela revient  il revient à voir si   $\int_0^1 |log(r)|^p r dr$ est intégrale    et ça c'est évident.

faire de même avec $\partial_i  f$

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#3 20-10-2018 10:20:30

mati
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Inscription : 15-05-2018
Messages : 133

Re : Distributions et L^p

Bonjour Aviateur

si on passe aux coordonnées polaires: $x_1= r \cos \theta$, $x_2= r \sin \theta$ avec $\theta \in [0,2\pi]$ et $r \in ]0,1]$, on obtient
$$
\displaystyle\int_{B(0,1)} |f|^p dx_1 dx_2= \displaystyle\int_{B(0,1)} |\ln|x||^p dx_1 dx_2= \displaystyle\int_0^{2 \pi} (\displaystyle\int_0^1 |\ln|r||^p dr) d\theta.
$$
pour moi,  c'est evident que $\displaystyle\int_0^1 |\ln|r||^p dr < +\infty$ s'il n yavait pas le 0. Mais on intègre de 0 à $1$ donc pourquoi il est évident que cette intégrale est finie pour tout $p<+\infty$?

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#4 20-10-2018 12:51:19

Fred
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Messages : 7 035

Re : Distributions et L^p

Bonjour

  Il faut que tu revois ton cours sur la convergence des intégrales impropres. Par exemple c'est facile ici de comparer avec une intégrale de Riemann convergente.

F.

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#5 20-10-2018 14:11:27

aviateur
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Messages : 189

Re : Distributions et L^p

Bonjour
je ne sais pas si tu as vu que tu as oublié le  r   qui  vient de $r\, dr\, d\theta$ (moi je l'avais mis)
et ça joue un rôle important dans la convergence de l'intégrale.

maintenant qu'elle est la limite de $r|\ln(r)|^p$  quand r tend vers zéro?

Dernière modification par aviateur (20-10-2018 14:12:43)

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#6 20-10-2018 14:15:56

aviateur
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Re : Distributions et L^p

C'est à dire que même si il n'y avait le facteur r l'intégrale est cv selon la remarque de Fred.

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#7 28-10-2018 11:02:04

mati
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Messages : 133

Re : Distributions et L^p

Bonjour
c'est compris pour cette question. Il me reste à montrer que $\partial_i f \in L^p_{loc}(\mathbb{R}^2)$ pour $i=1,2$ quand $1 \leq p < 2$.
On a
$$
\partial_1 f = \dfrac{2 x_1}{2||x||}.
$$
Je n'arrive pas à voir pourquoi $\partial_i f \in L^p_{loc}$ uniquement si $1 \leq p <2$ et pas pour tout $p$.

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#8 28-10-2018 17:41:01

aviateur
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Messages : 189

Re : Distributions et L^p

Bonjour
Encore une fois si tu passes en coordonnées polaires    [tex] \partial_1 f= r \cos(\theta)/r^2=1/r  \cos(\theta)[/tex]

[tex]| \partial_1 f|^p =1/r^p   |\cos(\theta)|^p. [/tex]
Quand tu intègres sur la boule unité par exemple     tu obtiens ds l'intégrale   [tex]=1/r^p   |\cos(\theta)|^p r dr d\theta.[/tex]
Le seul problème c'est pour la variable  r:  la convergence (ou non)  vient de la convergence (ou non )
de [tex]\int_0^1 1/r^p r dr =\int_0^1 1/r^{p-1}  dr[/tex]   

Essayes le cas limite p=2 !!!!!

Dernière modification par aviateur (28-10-2018 17:42:05)

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#9 28-10-2018 19:59:13

mati
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Re : Distributions et L^p

C'est très bien compris. Il me reste la dérnière question de l'exercice.
on sait que $f(x)= \ln(|x|)$ est de classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^2 \ \{0\})$ et que $\Delta f=0$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^2)$.
Et on vient de montrer que $f \in L^p_{loc}$ pour tout $p < +\infty$ et que $\partial_i f \in L^p_{loc}$ pour tout $p<2$.
On pose
$D=\{(r,\theta), \theta \in ]0,\pi/2[, r \in ]0,1[\}$. Montrer que $u \in L^2(D), \Delta u \in H^{-1}(D)$ n'implique pas que $u \in H^1(D)$.

Je pense que c'est $f$ qui va nous servir de contre exemple. Mais nous on a fait des preuves pour $L^p_{loc}$ et pas pour $L^p$. Comment on raisonne ici?

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#10 28-10-2018 23:09:34

aviateur
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Re : Distributions et L^p

Bonjour
[tex]f \in L^p_{loc}(R^2)[/tex] et non à [tex]L^p(R^2)[/tex] c'est uniquement dû au fait que ln(|x|) est trop grand quand |x| est grand.
Le travail qui a été fait montrer que [tex]f \in L^2(D)[/tex]  mais pas [tex]H^1(D)[/tex] dc pas de pb f sert bien de contrexemple

Dernière modification par aviateur (28-10-2018 23:10:37)

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#11 29-10-2018 08:43:09

mati
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Re : Distributions et L^p

En fait $D$ est la boule unité. C'est bien ça?

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#12 29-10-2018 19:14:25

aviateur
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Messages : 189

Re : Distributions et L^p

Non pas forcément ça change rien de prendre 1/4 de disque comme dans ton énoncé. 
Dans l'intégrale double tu as une intégrale de 0  à pi/2  ou de 0 à 2pi  ça change rien à la convergence.

Dernière modification par aviateur (29-10-2018 19:15:02)

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#13 30-10-2018 08:25:39

mati
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Re : Distributions et L^p

Merci beaucoup aviateur.

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