Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
Pages : 1
Discussion fermée
#1 19-10-2018 09:57:05
- mati
- Membre
- Inscription : 15-05-2018
- Messages : 133
Distributions et L^p
Bonjour
j'ai l'exo suivant:
on pose $f(x)= \ln(|x|)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^2 \setminus {0}$ pour tout $x \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$.
On sait que $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^2 \setminus \{0\})$ et que $\Delta f=0$ au sens ckassiqtz, et que donc $\Delta f =0$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
Comment on démontre que $f \in L^p_{loc}(\mathbb{R}^2)$ pour tout $p<+\infty$ et que $\partial_i f \in L^p_{loc}(\mathbb{R}^2)$ pour $i=1,2$ quand $1 \leq p < 2$?
Merci par avance pour toute aide.
Hors ligne
#2 19-10-2018 17:56:37
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Distributions et L^p
Bonjour
Pour répondre à la question, le seul problème est en x=0.
Donc il suffit de voir si |f|^p est intégrale par exemple sur la boule unité.
En passant en coordonnées polaires, cela revient il revient à voir si $\int_0^1 |log(r)|^p r dr$ est intégrale et ça c'est évident.
faire de même avec $\partial_i f$
Hors ligne
#3 20-10-2018 10:20:30
- mati
- Membre
- Inscription : 15-05-2018
- Messages : 133
Re : Distributions et L^p
Bonjour Aviateur
si on passe aux coordonnées polaires: $x_1= r \cos \theta$, $x_2= r \sin \theta$ avec $\theta \in [0,2\pi]$ et $r \in ]0,1]$, on obtient
$$
\displaystyle\int_{B(0,1)} |f|^p dx_1 dx_2= \displaystyle\int_{B(0,1)} |\ln|x||^p dx_1 dx_2= \displaystyle\int_0^{2 \pi} (\displaystyle\int_0^1 |\ln|r||^p dr) d\theta.
$$
pour moi, c'est evident que $\displaystyle\int_0^1 |\ln|r||^p dr < +\infty$ s'il n yavait pas le 0. Mais on intègre de 0 à $1$ donc pourquoi il est évident que cette intégrale est finie pour tout $p<+\infty$?
Hors ligne
#4 20-10-2018 12:51:19
- Fred
- Administrateur
- Inscription : 26-09-2005
- Messages : 7 035
Re : Distributions et L^p
Bonjour
Il faut que tu revois ton cours sur la convergence des intégrales impropres. Par exemple c'est facile ici de comparer avec une intégrale de Riemann convergente.
F.
Hors ligne
#5 20-10-2018 14:11:27
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Distributions et L^p
Bonjour
je ne sais pas si tu as vu que tu as oublié le r qui vient de $r\, dr\, d\theta$ (moi je l'avais mis)
et ça joue un rôle important dans la convergence de l'intégrale.
maintenant qu'elle est la limite de $r|\ln(r)|^p$ quand r tend vers zéro?
Dernière modification par aviateur (20-10-2018 14:12:43)
Hors ligne
#6 20-10-2018 14:15:56
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Distributions et L^p
C'est à dire que même si il n'y avait le facteur r l'intégrale est cv selon la remarque de Fred.
Hors ligne
#7 28-10-2018 11:02:04
- mati
- Membre
- Inscription : 15-05-2018
- Messages : 133
Re : Distributions et L^p
Bonjour
c'est compris pour cette question. Il me reste à montrer que $\partial_i f \in L^p_{loc}(\mathbb{R}^2)$ pour $i=1,2$ quand $1 \leq p < 2$.
On a
$$
\partial_1 f = \dfrac{2 x_1}{2||x||}.
$$
Je n'arrive pas à voir pourquoi $\partial_i f \in L^p_{loc}$ uniquement si $1 \leq p <2$ et pas pour tout $p$.
Hors ligne
#8 28-10-2018 17:41:01
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Distributions et L^p
Bonjour
Encore une fois si tu passes en coordonnées polaires [tex] \partial_1 f= r \cos(\theta)/r^2=1/r \cos(\theta)[/tex]
[tex]| \partial_1 f|^p =1/r^p |\cos(\theta)|^p. [/tex]
Quand tu intègres sur la boule unité par exemple tu obtiens ds l'intégrale [tex]=1/r^p |\cos(\theta)|^p r dr d\theta.[/tex]
Le seul problème c'est pour la variable r: la convergence (ou non) vient de la convergence (ou non )
de [tex]\int_0^1 1/r^p r dr =\int_0^1 1/r^{p-1} dr[/tex]
Essayes le cas limite p=2 !!!!!
Dernière modification par aviateur (28-10-2018 17:42:05)
Hors ligne
#9 28-10-2018 19:59:13
- mati
- Membre
- Inscription : 15-05-2018
- Messages : 133
Re : Distributions et L^p
C'est très bien compris. Il me reste la dérnière question de l'exercice.
on sait que $f(x)= \ln(|x|)$ est de classe $C^{\infty}(\mathbb{R}^2 \ \{0\})$ et que $\Delta f=0$ dans $\mathcal{D}'(\mathbb{R}^2)$.
Et on vient de montrer que $f \in L^p_{loc}$ pour tout $p < +\infty$ et que $\partial_i f \in L^p_{loc}$ pour tout $p<2$.
On pose
$D=\{(r,\theta), \theta \in ]0,\pi/2[, r \in ]0,1[\}$. Montrer que $u \in L^2(D), \Delta u \in H^{-1}(D)$ n'implique pas que $u \in H^1(D)$.
Je pense que c'est $f$ qui va nous servir de contre exemple. Mais nous on a fait des preuves pour $L^p_{loc}$ et pas pour $L^p$. Comment on raisonne ici?
Hors ligne
#10 28-10-2018 23:09:34
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Distributions et L^p
Bonjour
[tex]f \in L^p_{loc}(R^2)[/tex] et non à [tex]L^p(R^2)[/tex] c'est uniquement dû au fait que ln(|x|) est trop grand quand |x| est grand.
Le travail qui a été fait montrer que [tex]f \in L^2(D)[/tex] mais pas [tex]H^1(D)[/tex] dc pas de pb f sert bien de contrexemple
Dernière modification par aviateur (28-10-2018 23:10:37)
Hors ligne
#11 29-10-2018 08:43:09
- mati
- Membre
- Inscription : 15-05-2018
- Messages : 133
Re : Distributions et L^p
En fait $D$ est la boule unité. C'est bien ça?
Hors ligne
#12 29-10-2018 19:14:25
- aviateur
- Membre
- Inscription : 19-02-2017
- Messages : 189
Re : Distributions et L^p
Non pas forcément ça change rien de prendre 1/4 de disque comme dans ton énoncé.
Dans l'intégrale double tu as une intégrale de 0 à pi/2 ou de 0 à 2pi ça change rien à la convergence.
Dernière modification par aviateur (29-10-2018 19:15:02)
Hors ligne
#13 30-10-2018 08:25:39
- mati
- Membre
- Inscription : 15-05-2018
- Messages : 133
Re : Distributions et L^p
Merci beaucoup aviateur.
Hors ligne
Pages : 1
Discussion fermée