racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

leo0 · 16-10-2018 14:27:13

Bonjour

Je dois trouver la forme factorisée de la la fonction $f(x) = 2x² - 8x + 5$

les calculs suivants me donne les 2 racines :
$\Delta = b² - 4ac = (-8)² - 4 \times 2 \times 5 = 64 - 40 = 24 $

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2 \times \sqrt{6}$

$x = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{8 - 2\sqrt{6}}{2\times2}$

$x' = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{8 + 2\sqrt{6}}{2\times2}$

seulement, je n'arrive pas à trouver le même résultat que géogébra
dans affichage, j'ai validé l'option calcul formel et j'ai saisi la fonction $2x^2 - 8x + 5 $
et j'ai déterminé la forme factorisée mais je n'arrive pas à trouver le résultat de géogébra
Pouvez vous m'aidez ? s'il vous plait

Dernière modification par leo0 (16-10-2018 14:31:03)

yoshi · 16-10-2018 14:42:45

Re,

Et il dit quoi geogebra ?
[tex]x_1=\dfrac{4-\sqrt 6}{2}[/tex]
[tex]x_2=\dfrac{4+\sqrt 6}{2}[/tex]
[tex]f(x)=\dfrac 1 2\left(x-4-\sqrt 6\right)\left(x-4+\sqrt 6\right)[/tex] ?

[tex]f(x)=2\left(x-\dfrac{4+\sqrt 6}{2}\right)\left(x-\dfrac{4-\sqrt 6}{2}\right)[/tex] ?

Autre chose ?

@+

leo0 · 16-10-2018 15:12:43

Bonjour Yoshi

en fait (hier) j'ai fait ça mais cela n'a pas abouti

$2x^2 - 8x + 5 = 0$

mise en facteur de $2$

$2x^2 - 8x + 5 = 0 <=> 2\left(x^2 - \frac{8}{2}x + \frac{5}{2}\right) = 0 <=> 2\left((x - 2)^2 - 4 + \frac{5}{2}\right) = 0 <=> 2\left((x - 2)^2 -\frac{3}{2}\right) = 0$

$2\left((x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right) = 0 <=> 2 \left(x - 2 - \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \left(x - 2 + \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = 0 <=> 2 \left( x - 2 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)\left(x - 2 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) = 0$

Dernière modification par leo0 (16-10-2018 15:13:31)

leo0 · 16-10-2018 15:23:19

théoriquement , le produit de 2 facteurs me donne les 2 racines, enfin comme je faisais en seconde en calculant $f(x) = 0 $
et je n'arrive pas trouver $ \frac{\sqrt{6} - 4}{2}$ et $ -\frac{\sqrt{6} - 4}{2}$

yoshi · 16-10-2018 15:28:07

Re,

Je repose ma question : quelle forme te donne géogebra ?...
Moi, j'ai appris à (je devrais dire conditionné pour) :
- toujours simplifier une fraction
- ne jamais laisser une racine au dénominateur :
[tex] 2 \left( x - 2 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right)\left(x - 2 + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) =2 \left( x - 2 - \frac{\sqrt{6}}{2}\right)\left(x - 2 + \frac{\sqrt{6}}{2}\right) =2 \left( x - \frac{ 4+\sqrt{6}}{2}\right)\left(x -\frac{4 - \sqrt{6}}{2}\right)[/tex]
J'ai rendu rationnels les dénominateurs en multipliant haut et bas par $\sqrt 2$
J'ai mis le 2 sous forme de fraction $\frac 4 2$
J'ai fait une seule fraction après le $x$ et j'ai ajusté les signes pour en tenir compte...

C'est donc ça que tu cherchais ?

@+

leo0 · 16-10-2018 16:00:30

pour déterminer la forme canonique de la fonction $2x^2 -8x + 5$

j'ai saisi $2x^2 - 8x + 5$

j'ai tapé forme et d'après l'aide à la saisie j'ai sélectionné avec la souris forme canonique <Fonctions 2d degré>
et j'ai mis f entre les <>.
géogébra me donne le résultat $2 \left(x - 2\right)^2 - 3$.

et moi je fais ça :

$2x^2 - 8x + 5 <=> 2 \left[x^2 - \frac{8}{2}x + \frac{5}{2}\right] <=> 2 \left[x^2 - 4x + \frac{5}{2}\right] $

pour arriver ( après factorisation ) à :

$2\left[x^2 - 4x + \frac{5}{2}\right] <=> 2 \left[(x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right] $

yoshi · 16-10-2018 16:11:12

Re,

Et en distribuant le 2 sur le carré et la fraction, il vient :
[tex]2 \left[(x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right]=2(x - 2)^2 -3[/tex]

Je ne vois toujours pas ce qui t'arrête...

@+

leo0 · 16-10-2018 16:59:07

pour avoir les Deux racines je résous l'équations $2x^2 - 8x + 5 = 0$

et l'équation admet 2 solutions $x_1 = ..$ et $x_2 = .. $

$2x^2 - 8x + 5 = 0 <=> 2 \left[(x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right] = 0 $

je redistribue le 2 sur le carré et sur la fraction

il vient $2 \left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 $

je continue pour avoir la forme $A^2 - B^2 $

$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 <=> 2 \left(x - 2 - \sqrt{3}\right) \left( x - 2 + \sqrt{3}\right) = 0$

leo0 · 16-10-2018 17:00:18

arrivé là , je redistribue le $2$ ?

leo0 · 16-10-2018 17:04:00

je n'arrive pas à faire apparaitre $\sqrt{6}$

leo0 · 16-10-2018 17:14:00

$2 \left(x - 2 - \sqrt{3}\right) = 0 <=> 2x - 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 <=> 2x = 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} <=> x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{\frac{2}{2}}$

yoshi · 16-10-2018 17:38:21

Tsss ! Tss !

je n'arrive pas à faire apparaitre $\sqrt6$

Normal !
Ta factorisation précédente récrite ci-dessous est fausse :
$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 <=> 2 \left(x - 2 - \sqrt{3}\right) \left( x - 2 + \sqrt{3}\right) = 0$
Le carré est prioritaire sur le 2...
On peut "ruser" comme ça :
$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 <=>[\sqrt 2 (x - 2)]^2 - (\sqrt 3)^2 = 0 <=> ....= 0$

Tu risque d'avoir d'avoir d'autres surprises après, mais normalement, rien de rédhibitoire si tu observes et tu raisonnes (quand on a l'habitude, ce n'est plus nécessaire, ça vient tout seul, c'est un réflexe...)

Allez, vas-y, lance-toi !
N-B :
Moins pénible pour toi, serait d'écrire
$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 <=>\frac 1 2[4(x - 2)]^2 - (\sqrt 6)^2 = 0 <=> ....= 0$
Bah, tu vas faire les deux...

Ça t'entraînera...

@+

leo0 · 16-10-2018 18:04:19

oui, je vais faire les deux, comme j'ai le temps aujourd'hui...

tu me dis que la factorisation est fausse, donc je reprends le truc :
$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 $

je cherche à mettre sous la forme $A^2 - B^2 $

(j'ouvre une parenthèse et je sors un peu de la question posée)
c'est le même principe que pour passer de : $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}= 0 $

à : $ a\left(x + \frac{b }{2a} - \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right)\left(x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right) = 0 $

$b^2 - 4ac >0 $ donc je peux chercher une forme $A^2 - B^2 $

ici on a $ A =\left( x + \frac{b}{2a}\right)$ et le $B$ c'est $\left(\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right)$

mais pour ici , pour $2(x - 2)^2 - 3 = 0$

mon $A$ c'est bien $\left(x - 2\right)$ d'accord ?

et mon $B$ est bien c'est $\sqrt{3}$

yoshi · 16-10-2018 18:27:20

Salut,

Non ! Pas d'accord, tu n'as dû me lire correctement.
Je t'ai dit

Ta factorisation précédente est fausse
(...)
Le carré est prioritaire sur le 2

Tu aurais dû chercher à comprendre pourquoi je te disais ça... As-tu essayé (je ne vois pas de question portant directement là dessus) ?
Je précise...
Non seulement le carré est prioritaire sur le 2, mais tu fais tes calculs comme s'il était écrit :
[tex]2[(x-2)^2-3][/tex] or la "vraie" écriture c'est [tex]2(x-2)^2-3[/tex] ce qui change tout comprends-tu ? Ton A est faux...
C'est une technique que j'enseignais à mes 3e sans les embêter avec une racine carrée... A la place du 2, je mettais un carré
En fait tu as [tex]2A^2 - 3[/tex] : peut-être qu'en essayant de factoriser ça, tu comprendras ta faute...
C'est pourquoi je te dis que pour pouvoir te ramener à une différence de 2 carrés :
- tu dois penser que $2=(\sqrt 2)^2$ et $3=(\sqrt 3)^2$
Tu dois penser à la transformation [tex]2(x-2)^2-3= (\sqrt 2)^2\times (x-2)^2 - (\sqrt 3)^2 =\left[\sqrt 2(x-2)\right]^2 - (\sqrt 3)^2[/tex]
Moyennant quoi pour te ramener à A²-B², tu dois poser $A= \sqrt 2(x-2)$ et $B=\sqrt 3$

@+

leo0 · 16-10-2018 20:14:19

au départ, j'ai calculé les racines avec géogébra et puis, comme je me suis dit je vais quand même faire le calcul
et bien je suis en train de me dire que j'ai bien fait
ce calcul est vraiment intéressant

$2 \left(x - 2\right)^2 - 3 $

mon $A$ c'est : $\sqrt{\left( 2(x - 2)^2\right)}$

c'est à dire : $\sqrt{2 (x-2)^2} = \sqrt{2} \times \sqrt{(x-2)^2} = \sqrt{2} \times (x - 2 )$

mon $B$ c'est $\sqrt{3}$

c'est passionnant !

Dernière modification par leo0 (16-10-2018 20:50:58)

leo0 · 17-10-2018 12:10:02

Bonjour ,

$2\left(x - 2\right)^2 - 3 = 0 <=> \left(\sqrt{2}\right)^2 \times \left(x - 2\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = 0 <=> \left(\sqrt{2}(x - 2)\right)^2 - \left(\sqrt{3}\right)^2 = 0 <=> \left(\sqrt{2}(x - 2) - \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{2}(x - 2) + \sqrt{3}\right)=0$

$<=> \left(\sqrt{2}(x - 2 ) - \sqrt{3}\right) = 0 $ ou bien $\left(\sqrt{2}(x - 2) + \sqrt{3}\right) = 0 $

1 er cas :

$\left(\sqrt{2}(x - 2) - \sqrt{3}\right ) = 0 $ ou bien $\left(\sqrt{2}(x - 2) + \sqrt{3}\right) = 0 $

2e cas :

$\left(-(\sqrt{2}(x - 2)) - \sqrt{3}\right ) = 0 $ ou bien $\left(-(\sqrt{2}(x - 2)) + \sqrt{3}\right ) = 0 $

yoshi · 17-10-2018 12:25:42

Re,

Que vient faire là ce - devant $\sqrt 2$ ?????
Ta factorisation provisoire s'écrit :
[tex]\left[(\sqrt 2(x-2)-\sqrt 3\right]\left[(\sqrt 2(x-2)+\sqrt 3\right][/tex]
Maintenant pour te rapprocher de la forme défnitive, tu mets 2 fois $\sqrt 2$ en facteur, soit 2, et tu écris :
[tex]\left[(\sqrt 2(x-2)-\sqrt 3\right]\left[(\sqrt 2(x-2)+\sqrt 3\right]=2\left[(x-2)-\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right]\left[(x-2)+\frac{\sqrt 3}{\sqrt 2}\right][/tex]

@+

leo0 · 17-10-2018 12:56:14

Bonjour Yoshi

J'ai mis un moins devant parce que ça peut être aussi un nombre négatif, si on utilise la racine carré , au départ on peut aussi avoir un nb négatif

je continue le calcul

$\left[\sqrt{2}(x - 2) - \sqrt{3}\right] \left[\sqrt{2}(x - 2) + \sqrt{3}\right] = 0 <=> \sqrt{2} \left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \sqrt{2}\left[(x - 2) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] = 0$

$ \sqrt{2} \left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \sqrt{2}\left[(x - 2) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] = 0 <=> \sqrt{2}\times \sqrt{2} \left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \left[(x - 2) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right]= 0$

propriété : $\sqrt{x}\times \sqrt{x} = x $

$\sqrt{2}\times \sqrt{2} \left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \left[(x - 2) + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right]= 0<=>2\times \left[(x - 2) ) -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \left[(x -2) +\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] = 0$

$ <=>2\left[(x - 2) ) -\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] \left[(x -2) +\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right] = 0 <=> 2\left[(x - 2) - \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\right] \left[(x - 2) +\frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\right] = 0 $

$<=> 2 \left[(x - 2) + \frac{\sqrt{6}}{2}\right] \left[(x - 2) + \frac{\sqrt{6}}{2}\right] = 0$

Dernière modification par leo0 (17-10-2018 13:08:10)

semurel · 17-10-2018 17:52:20

Bonjour,
Il y a une manière bien plus simple de trouver le résultat. Il faut bien se rendre compte de ce que signifie les racines d'une équation du second degré.
Dans le cas général où l'on a deux racines distinctes pour l'équation [tex]a x^2 +b x +c =0[/tex] que l'on notera [tex] \alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] cela veut dire que l'on peut transformer l'équation en une équation produit nul de deux facteurs.
Soit [tex] a (x-\alpha) (x-\beta) = 0[/tex] (ne pas oublier le coefficient a , même s'il ne sert pas pour résoudre l'équation).
Donc quand on a deux racines distinctes [tex] \alpha[/tex] et [tex]\beta[/tex] on a [tex]a x^2 +b x +c =a (x-\alpha) (x-\beta)[/tex]
Si on a une seule racine (discriminant nul), la racine est double [tex]a x^2 +b x +c =a (x-\alpha)^2 [/tex]
Et si le discriminant est nul, il n'y a pas de racine réelle. Donc on ne peut obtenir une factorisation dans [tex] \mathbb{R}[/tex].
Pour les TS, il existe deux racines complexes [tex] \mathbb{C}[/tex] et on peut faire la forme factorisée [tex]a x^2 +b x +c =a (x-\alpha) (x-\beta)[/tex]

Dans le problème qui te préoccupe, on calcule les racines de [tex]2x^2-8x+5=0[/tex].
On trouve le discriminant [tex]\Delta=(-8)^2-4*2*5=24=(2 \sqrt{6})^2[/tex]
Donc les racines sont [tex] \frac{8+2 \sqrt{6}}{4} = 2+\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex] et[tex] \frac{8-2 \sqrt{6}}{4} = 2-\frac{\sqrt{6}}{2}[/tex]
La forme factorisée est donc [tex]2x^2-8x+5=2 (x-(2+\frac{\sqrt{6}}{2})) (x-(2-\frac{\sqrt{6}}{2}))[/tex]

leo0 · 17-10-2018 18:37:37

Bonjour et merci pour votre aide

Mais le résultat que vous me proposez, je l'ai déjà trouvé et c'est d'ailleurs les réponses que j'ai proposé au premier post

Si j'ai calculé $f(x) = 0 $ ( c'est ce que je faisais l'an passé en seconde ) c'est simplement pour m'entrainer et j'ai demandé de l'aide pour faire ce calcul (hier j'avais du temps pour le faire )

je suis parti de $2x^2 - 8x + 5 = 0 $ puis je suis arrivé à : $2\left[(x - 2)^2 - \frac{3}{2}\right] = 0 $

$<=> 2 \left(x - 2 - \sqrt{\frac{3}{2}}\right) \left(x - 2 + \sqrt{\frac{3}{2}}\right) = 0$

et là, j'ai demandé de l'aide sur le forum parce que je ne savais pas comment faire pour simplifier les fractions avec les racines.

voilà..

merci à Yoshi

Dernière modification par leo0 (17-10-2018 18:48:14)

yoshi · 19-10-2018 17:51:54

Re,

leo0 a écrit :

J'ai mis un moins devant parce que ça peut être aussi un nombre négatif, si on utilise la racine carré , au départ on peut aussi avoir un nb négatif

Non, ce ne peut pas être [tex]-\sqrt 2[/tex]...
Définition de la racine carrée appliquée au nombre 2 :
La racine carrée du nombre 2 est l'unique réel positif dont carré est 2.
Par contre, il est vrai que l'équation $x^2-2 = 0$ a deux solutions [tex]-\sqrt 2[/tex] et [tex]\sqrt 2[/tex], mais c'est hors sujet ici.

@+

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

#1 16-10-2018 14:27:13

racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#2 16-10-2018 14:42:45

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#3 16-10-2018 15:12:43

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#4 16-10-2018 15:23:19

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#5 16-10-2018 15:28:07

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#6 16-10-2018 16:00:30

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#7 16-10-2018 16:11:12

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#8 16-10-2018 16:59:07

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#9 16-10-2018 17:00:18

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#10 16-10-2018 17:04:00

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#11 16-10-2018 17:14:00

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#12 16-10-2018 17:38:21

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#13 16-10-2018 18:04:19

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#14 16-10-2018 18:27:20

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#15 16-10-2018 20:14:19

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#16 17-10-2018 12:10:02

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#17 17-10-2018 12:25:42

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#18 17-10-2018 12:56:14

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#19 17-10-2018 17:52:20

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#20 17-10-2018 18:37:37

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

#21 19-10-2018 17:51:54

Re : racines de la fonction f(x) = 2x² - 8x + 5.

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