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#1 01-11-2015 16:03:40

Julie045
Membre
Inscription : 01-11-2015
Messages : 3

Problème de maths 1ere S

Bonjour , j'ai un problème de maths a résoudre et je ne trouve pas beaucoup de réponses, voici le problème:

ABC est un triangle quelconque.
I est le milieu de [AB] , J celui de [AC].
M est le point tel que ABJM est un parallélogramme , N est le point tel que AICN est un parallélogramme.
P est le milieu du segment [MN].
Que dire des droites (AP) et (BC) ?

Ce problème peut se résoudre de différentes façons et je doit en trouver le maximum.

J'ai trouvé ceci :

1) Dans un repère (B,C,A) on a :
B(0;0) , C (1;0) , A(0;1) , J(1/2 ; 1/2) et I (0; 1/2)
J'ai ensuite calculé les coordonnées de M et N et j'ai trouvé M (1/2 ; 3/2) et N (1; 1/2)
J'en ai déduis que P (3/4 ; 1)
Et AP (3/4 ; 0)
AP et BC sont donc parallèles car ils ont la même ordonnée


2) AP = 1/2 AM + 1/2 AN
= 1/2 BJ + 1/2 IC
= 1/2 BC + 1/2 CJ + 1/2 IB + 1/2 BC
= BC + 1/2 IB + 1/2 CJ
= BC + 1/4 AB + 1/4 CA
= BC + 1/4 CA + 1/4 AB
= BC + 1/4 CB
= BC - 1/4 BC
= 3/4 BC

AP et BC donc colinéaires et k=3/4 donc encore une fois ces droites sont parallèles.


J'ai trouvé ces 2 solutions mais je bloque et je n'en trouve pas d'autres , je pensais qu'une démonstration géométrique pourrait résoudre ce problème mais je ne vois pas comment faire

Merci d'avance pour vos réponses

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#2 01-11-2015 16:57:48

Fred
Administrateur
Inscription : 26-09-2005
Messages : 7 035

Re : Problème de maths 1ere S

Salut,

Je pense que cela va intéresser du monde...
En voici une, à base de théorème des milieux :

1. La droite (BC) est parallèle à (IJ) car I est le milieu de [AB] et J est le milieu de [AC].

2. Les points I,J,N sont alignés, car J est le milieu de la diagonale [AC] du parallélogramme AICN.

3. Notons D le milieu de [JM]. Alors AIJD est un parallélogramme, car (AI) parallèle à (DJ) et AI=JD.
En particulier, (DA) est parallèle à (IJ).

4. Par le théorème des milieux, (DP) est parallèle à (JN)=(IJ).

Ainsi, (DA) et (DP) sont parallèles à une même droite. Ainsi, D,A et P sont alignés, et (AP) est parallèle à (IJ).

En prime, voici une figure :

geo53426.png

F.

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#3 01-11-2015 17:10:37

Julie045
Membre
Inscription : 01-11-2015
Messages : 3

Re : Problème de maths 1ere S

Merci beaucoup !

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#4 01-11-2015 17:11:45

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : Problème de maths 1ere S

Salut,

[tex]2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{BJ}+\overrightarrow{IC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BJ}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BJ}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}[/tex]
[tex]\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{IC}=-\frac{\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}}{2}=\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}[/tex]

[tex]2\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}+\frac{\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}}{2}=\frac{3\overrightarrow{BC}}{2}[/tex]
D'où [tex]\overrightarrow{AP}=\frac{3\overrightarrow{BC}}{4}[/tex]

M'a l'air un poil plus rapide.

Autre idée.
Tant que tu es dans ton repère, tu peux chercher l'équation de (AP) et celle de (IJ) et prouver qu'elles sont respectivement y=1 et y =1/2...

je chercherai la géo pure à mon retour.

Je m'absente 2 h
.

@+


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#5 01-11-2015 19:58:59

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : Problème de maths 1ere S

Re,

Géométrie pure.
Soit S le milieu de [MJ].

AICN est un parallélogramme donc [AC] et [IN] ont même milieu. J est celui de [AC] donc J est aussi celui de [IN].
Théorème de Thalès ou de la "droite des milieux" :
S milieu de [MJ] et P milieu de [MN] ==> (SP ) // (IJ)
I milieu de [AB] et J milieu de [AC] ==> (I) // (BC)
Donc (SP) // (BC)

On examine le quadrilatère AIJS.
Compare (AI) et (SJ), puis AI et SJ.
Nature du quadrilatère AIJS ?
Conclusion pour (AS) et (IJ), puis pour (AS) et (AB).
Es-tu capable de conclure que [tex]S \in (AP)[/tex] ?
(Par un point S, il ne passe qu'une seule parallèle à une droite : axiome d'Euclide)

@+


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#6 07-02-2017 12:47:17

LucIfer
Invité

Re : Problème de maths 1ere S

Comment prouver que AP = 1/2 (AM + AN) ??

#7 07-02-2017 16:49:52

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : Problème de maths 1ere S

Bonjour "Porteur de lumière",
(sens étymologique de Lucifer)

Elementaire, mon cher Watsion
Relation de Chasles.
[tex]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NP}[/tex]
J'additionne membre à membre les 2 lignes ci-dessus :
[tex]2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}[/tex]
Intéressons-nous à la somme :
[tex]\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}[/tex]
P est le milieu de [MN] [tex]\Leftrightarrow \overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\vec 0[/tex]
Ceci est un résultat censé être acquis.
Il s'explique ainsi
P milieu donc MP = NP
P milieu donc M et N sont de part et d'autre de P
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{MP}[/tex] et [tex] \overrightarrow{NP}[/tex] ont la même longueurn sont portés par la même droite et sont de sens opposés...
On pourrait encore écrire
[tex]\overrightarrow{MP} =\frac 1 2 \overrightarrow{MN}[/tex]
et
[tex] \overrightarrow{NP}=\frac 1 2 \overrightarrow{NM}=-\frac 1 2\overrightarrow{MN}[/tex]
D'où :
[tex]\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\vec 0[/tex]
Et enfin
[tex]2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}[/tex]
Et enfin :
[tex]\overrightarrow{AP}=\frac 1 2 (\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})[/tex]

@+


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#8 07-02-2017 17:12:29

tibo
Membre expert
Inscription : 23-01-2008
Messages : 1 097

Re : Problème de maths 1ere S

Salut,

On peut accélérer un peu en utilisant directement l'identité du parallélogramme (que tu redémontres en fait):

Soit $Q$ le point tel que $AMQN$ est un parallélogramme.
D'après l'identité du parallélogramme on a $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AQ}$

Or $P$ milieu de $[MN]$, diagonale de $AMQN$
Donc $P$ milieu de $[AQ]$ (Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.)
Donc $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{PQ}$

Or d'après la relation de Chasles
$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PQ}=2\overrightarrow{AP}$

Et on conclu en combinant la première et la dernière égalité vectorielle.



Très intéressant ce problème. Ça permet de faire un excellent résumé de tous les chapitres de géométrie de seconde.
(Ça sent le DM de fin d'année ^^)

Dernière modification par tibo (07-02-2017 17:16:51)


A quoi sert une hyperbole?
----- A boire de l'hypersoupe pardi !

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#9 14-10-2018 12:55:09

adri64
Invité

Re : Problème de maths 1ere S

salut j'ai le même problème te je ne comprends pas comment tu trouves 1/2 AM et 1/2 AN ? aides moi s'il vous plaît

#10 14-10-2018 13:17:54

adri64
Invité

Re : Problème de maths 1ere S

pourrize vous m'expliquez votre solution 2 , je crois que c'est une relation de chasles mais je comprends pas comment vous avez pu trouvez cette reponse au final ?

#11 15-10-2018 13:35:19

yoshi
Modo Ferox
Inscription : 20-11-2005
Messages : 16 943

Re : Problème de maths 1ere S

Bonjour,

Si la demande est bien celle que je crois, c'est quand même le B-A-BA de la géométrie vectorielle, un résultat supposé connu.
Démonstration à partir du parallélogramme.
Soit K le point tel que AMKN soit un parallélogramme.
On a
[tex]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MK}[/tex]
Mais AMKN étant un parallélogramme alors [tex]\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AN}[/tex]
On en déduit donc (et ça aussi est un résultat qui doit être connu) [tex]\overrightarrow{AK}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}[/tex]
Les diagonales de ce parallélogramme, qui sont [MN] et [AK], ont le même milieu.
P étant le milieu de [MN] et donc aussi celui de [AK].
Par conséquent [tex]\overrightarrow{AK}=2\overrightarrow{AP}[/tex]

On peut donc écrire : [tex]2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}[/tex]
et [tex]\overrightarrow{AP}=\dfrac 1 2\overrightarrow{AM}+\dfrac 1 2\overrightarrow{AN}[/tex]

----------------------------------------------

Démonsration en restant dans le triangle AMN et en appliquant 2 fois la relation de Chasles :
[tex]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NP}[/tex]
On ajoute membre à membre :
[tex]2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}[/tex]
Et on s'intéresse à la somme [tex]\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}[/tex]
P étant le milieu de [MN] on a : [tex]\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\vec 0[/tex]
Et il nous reste :
[tex]2\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}[/tex]...

@+


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