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#1 10-10-2018 23:02:44

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 64

Union, Inter

Bonjour


J'ai trouvé cela dans une fiche sur les ensembles et je n'ai pas pu le démontrer, pourriez vous m'aider s'il vous plait ?

Ui∈∅ Ai = ∅   et  ∩i∈∅ Ai =E.

bonne journée


La vie est un art

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#2 11-10-2018 05:13:20

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 115

Re : Union, Inter

Démontrer quoi ?

Rappel : tous les ensembles Ai sont contenus dans la réunion des Ai.

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#3 11-10-2018 11:44:14

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 407
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Re : Union, Inter

Bonjour,

C'est par définition, de la même façon que l'on pose :

$\sum \limits_{a \in \emptyset} a=0$ l'élément neutre de l'addition
$\prod \limits_{a \in \emptyset} a=1$ l'élément neutre pour la mutiplication.

$\emptyset$ est un élément neutre pour la réunion
$E$ l'ensemble totale dans lequel tu travailles est l'élément neutre pour l'intersection.

Et on comprend pourquoi l'on pose cela, en effet l'élement neutre ne change pas le résultat de l'opération.

Bonne journée.

Dernière modification par Dattier (11-10-2018 11:44:29)


La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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#4 11-10-2018 11:52:27

Dattier
Membre
Inscription : 10-09-2017
Messages : 407
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Re : Union, Inter

Plus généralement, $\sum$ une opération associative et commutative, on veut conserver si $A\cap B=\emptyset$
$\sum\limits_{a \in A \cup B} a=(\sum\limits_{a\in A} a) \sum (\sum\limits_{b \in B} b)$

Ce qui motive le choix fait.

Dernière modification par Dattier (11-10-2018 12:02:18)


La patience est la constance ferme dans ses propos et son comportement en vue d'un objectif précis.

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#5 11-10-2018 18:01:02

Michel Coste
Membre
Inscription : 05-10-2018
Messages : 115

Re : Union, Inter

Ah, je n'avais pas vu le [tex]\emptyset[/tex] en indice, ma vue baisse !

En fait, c'est une conséquence de la définition de l'intersection et de la réunion de parties de [tex] E[/tex]

[tex]\bigcup_{i\in I} A_i= \{ x\in E \mid \exists i\in I \ x\in A_i\}[/tex]

[tex]\bigcap_{i\in I} A_i= \{ x\in E \mid \forall i\in I \ x\in A_i\}[/tex]

Tu appliques ces définitions pour [tex]I=\emptyset[/tex] et ça te donne les égalités que tu as écrites.

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#6 12-10-2018 12:40:56

hicham alpha
Membre
Inscription : 19-03-2018
Messages : 64

Re : Union, Inter

Merci pour vos réponses.
Alors c'est juste la Definition.

Bonne journée


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